فاصله اطمینان برای انحراف معیار

مترجم: آرزو رحیم‌زاده

ویرایش: آرزو رحیم‌زاده

فاصله اطمینان برای واریانس و انحراف معیار

اگرچه استنتاج روابط مربوط به واریانس و انحراف معیار جامعه، نسبت به میانگین کمتر مورد توجه قرار می‌گیرد، اما در مواردی نیاز داریم این روابط را مورد استفاده قرار دهیم.

نکته: فرض کنید X_۱ , X_{۲ , …} X_n یک نمونه ی تصادفی از جامعه‌ای دارای توزیع نرمال با پارامترهای σ^۲ و µ  باشد.

آنگاه متغیر تصادفی:

دارای توزیع احتمال مربع کای با درجه آزادی n-1 می باشد.

همانطور که می‌دانید، توزیع مربع کای یک توزیع احتمال پیوسته است که تنها پارامتر آن یعنی ν بیانگر تعداد درجات آزادی با مقادیر مجاز…۱،۲،۳ می‌باشد.

نمودار چند تابع چگالی احتمال (pdf) توزیع مربع کای در شکل زیر نشان داده شده است. همانطور که در شکل مشاهده می‌شود، در هرنمودار به ازای مقادیر مثبت ν مقادیر تابع چگالی احتمال مثبت و هر کدام از منحنی‌ها چوله به راست هستند و با حرکت به سمت راست و افزایش ν، شکل توزیع متقارن‌تر شده و به توزیع نرمال استاندارد نزدیک‌تر می‌شود.

 نمادگذاری: Χ^۲α,ν یک مقدار بحرانی توزیع مربع کای است و مقداری را روی محور افقی نمودار نشان می‌دهد که مساحت زیر منحنی کای دو با درجه آزادی ν در سمت راست آن مقدار برابر با α می‌باشد.

برای مثال داریم از روی جدول مربوط به توزیع مربع کای داریم:

فاصله اطمینان

متغیر تصادفی زیر هر دو ویژگی مورد نیاز برای اینکه از آن در به دست‌آوردن یک فاصله اطمینان کمک بگیریم را دارا می‌باشد.

زیرا:

• تابعی است از پارامتر مجهول مورد نظر که به دنبال به دست‌آوردن آن هستیم یعنی σ^۲
• توزیع احتمال این متغیر تصادفی (کای دو) به پارامتر مجهول مورد نظر یعنی σ^۲ وابسته نیست.

سطح زیر منحنی کای دو با درجه آزادی ν در سمت راست مقدار Χ^۲α/۲,ν برابر با سطح سمت چپ مقدار Χ^۲۱-α/۲,ν بوده و برابر با α/۲ می باشد. در نتیجه داریم:

و از رابطه فوق:

با جایگزینی مقادیر s^۲ به دست‌آمده از نمونه برداری در کران‌های رابطه‌ی بالا، فاصله اطمینانی برای واریانس جامعه به دست می‌آید. همچنین با جذر‌گرفتن از کران‌های بازه اطمینانی که برای واریانس به دست آوردیم، می‌توان فاصله اطمینانی برای انحراف استاندارد جامعه نیز به دست آورد.

در نتیجه یک فاصیه اطمینان برای واریانس یک جامعه با توزیع نرمال به صورت زیر می‌باشد:

که با جذرگرفتن از کران‌های این بازه، کران‌های بالا و پایینِ فاصله اطمینان σ به دست می‌آیند. فواصل اطمینان یک‌طرفه‌ی بالا و پایین نیز، با جای‌گذاری α به جای  α/۲ در حدود مربوطه قابل محاسبه هستند.

مثال

 اطلاعات مربوط به ولتاژ شکست برخی قطعات مدارهای الکتریکی به صورت زیر به دست آمده است.

اگر توزیع مقادیر ولتاژ شکست را با تقریب خوبی نرمال در نظر بگیریم:

مقدار واریانس نمونه که برآوردی نقطه‌ای برای واریانس جامعه می‌باشد برابر با ۱۳۷۳۲۴.۳ خواهد بود. در نتیجه با درجه آزادی n-1=16 یک فاصله اطمینان ۹۵% ای برای واریانس به صورت زیر به دست خواهد آمد:

با جذرگرفتن از کران‌های این بازه، فاصله اطمینانی ۹۵%ای برای انحراف معیار جامعه به صورت (۵۷۴.۰ , ۲۷۶.۰) به‌دست می‌آید. این فواصل به‌طور قابل‌ملاحظه‌ای بزرگ هستند که حاکی از گسترده‌بودن دامنه‌ی تغییرات و تنوع زیاد مقادیر ولتاژ شکست در نمونه‌ای با اندازه‌ی کوچک می‌باشد.

توجه: به دست‌آوردن فواصل اطمینان برای واریانس و انحراف معیار جامعه وقتی توزیع جامعه نرمال نباشد می‌تواند دشوار باشد. در چنین مواردی می‌توان از یک متخصص آمار کمک گرفت.