مفهوم استقلال در احتمال

مترجم: سید مهدی باغی

ویرایش: ابوالفضل ملکی

استقلال

تعریف احتمال شرطی ما را قادر می‌سازد تا احتمال (P(A اولیه نسبت‌ داده ‌شده به A را زمانی که از وقوع یک پیشامد دیگر B مطلع می‌شویم، مجددا بررسی کنیم؛ احتمال جدید برای پیشامد P(A|B) ،Aخواهد بود. در موادر بسیاری مکررا اتفاق می‌افتد که مقادیر احتمالشرطی برای یک پیشامد با مقدار احتمال غیرشرطی پیشامد مذکور متفاوت می‌باشد. در واقع آگاهی از اینکه “B اتفاق افتاده است”  باعث تغییر در احتمال رخ دادن A می‌شود. اما اغلب شانس اینکه A اتفاق بیفتد یا اتفاق افتاده باشد با آگاهی از “وقوع B” تحت تاثیر قرار نمی‌گیرد؛ بنابراین (P(A|B)=P(A. پس طبیعی است که A و B را پیشامدهای مستقل تلقی کنیم، به این معنی که رخ دادن یا ندادن یکی از پیشامدها هیچ تاثیری در رخداد یا عدم رخداد دیگری ندارد.

تعریف: دو پیشامد A و  B مستقل هستند اگر (P(A|B)=P(A؛ درغیر این صورت وابسته هستند.

تعریف استقلال ممکن است “نامتقارن” به نظر برسد چرا که ما الزامی به برقراری همزمان (P(B|A)=P(B نداریم. با این وجود، با استفاده از تعریف احتمال شرطی و قانون ضرب:

قسمت سمت راست عبارت فوق (P(B است اگر و تنها اگر (P(A|B)=P(A (مستقل باشند).

 همچنین می‌توان به سادگی نشان داد که اگر A و B مستقل باشند، پس جفت پیشامدهای زیر نیز مستقل خواهند بود:

• ’A و ’B
•  A و ’B
• ’A و ’B

مثال‌ها

مثال۱: یک پمپ گاز با ۶ پمپ به شماره‌های ۱,۲,۳,۴,۵,۶ را در نظر بگیرید و فرض کنید E_i نشان دهنده این پیشامد ساده باشد که یک مشتری انتخاب شده به صورت تصادفی از پمپ i ام (i=1,2,3,4,5,6) استفاده کند.

اگر داشته باشیم:

و پیشامدهای A, B, C را به این صورت تعریف کنیم:

 پس داریم: P(A)=0.50 و P(A|B)=0.30 و P(A|C)=0.50. این یعنی پیشامدهای A و B وابسته هستند، در حالی‌که پیشامدهای A و C مستقل هستند.

مثال۲: فرض کنید A و B هر دو پیشامد ناسازگاری با  P(A)>0 باشند. به طور مثال، برای یک اتومبیل انتخاب شده به صورت تصادفی، فرض کنید:

A= {خودرو یک موتور چهار سیلندره دارد}

B={خودرو یک موتور شش سیلندره دارد}

از آنجایی که پیشامدها ناسازگار هستند، اگر B اتفاق بیفتد، پس A نمی‌تواند اتفاق افتاده باشد؛ بنابراین (P(A|B)=0≠P(A. نکته این است که اگر دو پیشامد ناسازگار باشند، نمی‌توانند مستقل باشند. زمانی که A و B ناسازگار هستند، این فرض که A اتفاق افتاده است یعنی B نمی‌تواند اتفاق افتاده باشد و در نتیجه مانع استقلال می‌شود.