مقالات آمار و احتمال
تقریب توزیع دو جمله ای با نرمال
بهمن
می دانیم که میانگین و انحراف استاندارد یک توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p به صورت زیر می باشد:
به عنوان مثال شکل زیر هیستوگرام توزیع احتمالی دوجمله ای با پارامترهای n=25 و p=0.6 را نشان می دهد:
برای این توزیع میانگین (امید ریاضی) و انحراف استاندارد به صورت زیر بدست می آید:
در شکل فوق، یک منحنی نرمال با میانگین ۱۵ و انحراف استاندارد ۲.۴۴۹ (که در بالا محاسبه شد) بر روی هیستوگرام توزیع دوجمله ای ترسیم شده است. با وجودیکه شکل هیستوگرام به علت عدم برابری نسبت p با نیم، کمی دارای چولگی است، اما منحنی نرمال ترسیمی تقریب خوبی را نشان می دهد. این تقریب در نقاط میانی منحنی بهتر از نقاط کناری می باشد. مساحت هر مستطیل (که در واقع احتمال هر مقدار X می باشد) می تواند در کلیه نقاط (غیر از محدوده های کناری دو طرف) با دقت خوبی با نرمال استاندارد متناظر با دقت خوبی تقریب زده شود. به عنوان مثال احتمال اینکه متغیر تصادفی X برابر با ۱۰ باشد با رابطه زیر بدست می آید:
همچنین مساحت زیر منحنی نرمال بین دو مقدار ۹.۵ و ۱۰.۵ (که عدد ۱۰ وسط بازه متشکل از این دو عدد قرار دارد) به صورت زیر بدست می آید:
