توزیع گاما چیست؟ (توزیع گاما به زبان ساده)

فرم کلی توزیع گاما

فرض نمایید که متغیر تصادفی X دارای توزیع گاما می باشد. در این صورت تابع چگالی آن (یعنی همان pdf معروف) به صورت زیر می باشد:

پارامترهای آلفا و بتا در رابطه فوق که بیان کننده تابع چگالی توزیع گاما می باشد بایستی مثبت (بزرگتر از صفر) باشند. در صورتیکه در رابطه فوق، آلفا برابر با یک و بتا برابر با یک تقسیم بر لاندا قرار داده شود، تابع چگالی متغیر تصادفی دارای توزیع نمایی بدست می آید. پس نتیجه گرفته می شود که توزیع نمایی یک حالت خاص از توزیع گاما بوده و گاما نقش پدرخوانده را برای نمایی بازی می کند.

فرم استاندارد توزیع گاما

در صورتیکه در تابع چگالی توزیع گاما مقدار بتا را برابر با یک قرار دهیم، تابع چگالی مربوط به توزیع گامای استاندارد به صورت زیر بدست می آید:

شکل تابع چگالی توزیع گاما

برای چند مقدار آلفا و بتا شکل تابع چگالی توزیع گاما به صورت زیر می شود:

همچنین برای چند مقدار آلفا شکل تابع چگالی توزیع استاندارد گاما به صورت زیر می شود:

در شکل های فوق مشخص است که برای تابع چگالی استاندارد گاما، زمانیکه آلفا کوچکتر یا مساوی یک باشد، تابع چگالی فرم نزولی دارد. اما زمانیکه آلفا بزرگتر از یک است، تابع چگالی از مقدار صفر (به ازی x=0) شروع شده و به تدریج به یک مقدار ماکزیمم رسیده و سپس کاهش پیدا می کند و همان شکل معروف کوهان شتر را برای ما تداعی می کند، البته اینجا بیل به کوهان شتر خورده و کوهان شتر کج و غیر متقارن شده است!!!

در توزیع گاما پارامتر بتا را به عنوان پارامتر اندازه (Scale Parameter) و پارامتر آلفا را به عنوان پارامتر شکل (Shape Parameter) می شناسند، چرا که با تغییر مقدار آلفا شکل منحنی چگالی تغییر می کند.