قانون ضرب احتمال

طبق تعریف فرمول احتمال شرطی پیشامد E به شرط F به صورت زیر می باشد:

در صورتیکه دو طرف رابطه فوق را در P(F) ضرب نماییم (یا همان اصطلاحا طرفین وسطین نماییم) خواهیم داشت:

رابطه فوق به نام قانون ضرب احتمال گفته شده و در محاسبه احتمال اشتراک پیشامدها مفید و کاربردی است.

مثال ۱:

دانش آموزی در حین انتخاب رشته دارای تردید است. اگر مهندسی مکانیک را انتخاب نماید با احتمال یک سوم و اگر مهندسی صنایع را انتخاب نماید با احتمال یک دوم معدل الف (بالای ۱۷) را کسب می نماید. اگر وی بر اساس پرتاب یک سکه تصمیم خود را اتخاذ نماید، احتمال اینکه در رشته مهندسی مکانیک دارای معدل الف شود چقدر است؟

پاسخ:

پیشامدها را به صورت زیر تعریف می کنیم:

• پیشامد A: در هر رشته ای که وارد شود معدل الف کسب نماید.
• پیشامد C: انتخاب رشته مهندسی مکانیک

در این سوال هدف محاسبه احتمال اشتراک دو پیشامد A و C می باشد. بر اساس قانون ضرب احتمال این احتمال اشتراک دو پیشامد مورد نظر به صورت زیر می باشد:

مثال ۲:

کیسه ای را در نظر بگیرید که شامل ۷ کارت صورتی و ۳ کارت سبز می باشد. شروع به درآوردن کارت ها از درون کیسه می نماییم به صورتی که در هر بار احتمال انتخاب هر کارت با بقیه کارت ها با هم برابر باشد. شیوه برداشتن کارت ها هم بدون جایگذاری می باشد. احتمال اینکه هر دو کارت انتخابی به رنگ صورتی باشند را محاسبه نمایید.

پاسخ:

پیشامدها را به صورت زیر تعریف می کنیم:

• پیشامد E: احتمال اینکه اولین کارت صورتی باشد.
• پیشامد F: احتمال اینکه دومین کارت صورتی باشد.

احتمال انتخاب هر دو کارت به رنگ صورتی در واقع معادل احتمال اشتراک دو پیشامد E و F می باشد. پس می توانیم از قانون ضرب احتمال به صورت زیر استفاده نماییم.