فضای نمونه ای هم شانس

بسیاری از تجربه­ های تصادفی (آزمایشات تصادفی) دارای فضای نمونه هم شانس می ­باشند، بدین معنا که احتمال رخداد هریک از عناصر فضای نمونه با دیگر عناصر برابر می­باشد. مثالی از فضاهای نمونه ­ای هم شانس پرتاب تاس و همچنین پرتاب سکه منصف (Fair) می ­باشند. در واقع مفهوم منصف بودن در تاس و سکه مترادف با هم ­شانس بودن فضاهای نمونه­ ای حاصل از آنها می­ باشد. سکه ­ای را منصف می­گوییم که احتمال ظاهر شدن پشت و رو (شیر و خط) در آن با هم برابر باشد. همچنین تاس منصف تاسی است که احتمال ظاهر شدن هریک از اعداد ۱ تا ۶ با هم برابر (یک ششم) باشد.

فرض نمایید که یک فضای نمونه دارای m عضو زیر باشد:

می­دانیم که مجموع احتمالات مربوط به رخداد کلیه عناصر فضای نمونه برابر با ۱ می ­باشد. پس داریم:

در صورتیکه با حالت هم­ شانس مواجه باشیم پس مقدار کلیه احتمالات فوق با هم برابر می ­باشد. فرض می­ کنیم که کلیه احتمالات فوق برابر با یک مقدار ثابت مثلا K می­باشد، پس داریم:

در نتیجه با جایگذاری عبارت ۲ در عبارت ۱ خواهیم داشت:

پس در صورتیکه این فضای نمونه ­ای هم­ شانس باشد، احتمال رخداد هریک از اعضای فضای نمونه با هم برابر و مساوی با ۱m می باشد.

کاربرد فضای نمونه ­ای هم ­شانس در دنیای واقعی:

در جاهایی که نیاز به برقراری عدالت و توازن بین گزینه­ های مختلف و به نوعی تقسیم منافع به صورت یکسان می­ باشد، از فضاهای نمونه­ای هم­ شانس استفاده می­شود. مثل پرتاب سکه در مسابقه فوتبال برای تعیین اینکه چه تیمی با مالکیت توپ بازی را آغاز کند و چه تیمی حق انتخاب زمین را دارد. از آنجاییکه این فضای نمونه ­ای هم­ شانس است و احتمال اینکه سکه شیر یا خط بیاید برابر است، حداکثر عدالت ممکن بین دو تیم برقرار می­شود. این مساله جز قوانین مهم در فوتبال است. تا جاییکه در یک بازی­­های سوپر لیگ فوتبال بانوان در کشور انگلستان، داور به دلیل فراموشی و جاگذاشتن سکه در رختکن، قرعه­ کشی قبل از بازی را به جای پرتاب سکه با بازی «سنگ، کاغذ، قیچی» شروع کرده بود که این امر منجر به محرومیت سه هفته ­ای این داور گردید.

مثال دیگر از کاربرد فضاهای نمونه ­ای هم ­شانس قرعه ­کشی­ های مختلف برای تعیین برنده جوایز می ­باشد، مثلا مورد زیر را در نظر بگیرید: «فروشگاهی که اعلام می­ دارد که قصد دارد یک مراسم قرعه ­کشی را برگزار نموده و در این مراسم بین همه مشتریانی که در ماه گذشته از آن فروشگاه خرید کرده ­اند، سه برگزیده را انتخاب نموده و به آنها جوایزی را اهدا می­­ نماید. (این قرعه­ کشی ارتباطی با میزان خرید هریک از مشتریان فروشگاه ندارد)» مسلما همه انتظار دارند که تمامی مشتریان از شانس یکسان در این قرعه­ کشی برخوردار باشند.