جایگشت به زبان ساده

جایگشت های n شی متمایز

جایگشت ها شیوه های قرار دادن تعدادی شی متمایز در کنار یکدیگر را بیان می نمایند. به عنوان مثال اگر n شی متمایز داشته باشیم، در جایگاه اول می توان هریک از n شی را قرار داد. سپس با توجه به اینکه یکی از n شی برای جایگاه اول انتخاب شده است، (n-1) حالت برای انتخاب یک شی و قرار دادن آن در جایگاه دوم، وجود دارد. حال با توجه به اینکه دو مورد از n شی برای جایگاه های اول و دوم انتخاب شده اند، (n-2) حالت برای انتخاب یک شی و قرار دادن آن در جایگاه سوم، وجود دارد. به همین صورت که این روند ادامه پیدا کند برای جایگاه آخر یک انتخاب باقی می ماند، پس طبق «اصل ضرب» تعداد کل حالات قرارگیری n شی به صورت زیر می شود:

پیش از این با فاکتوریل در مقاله «فاکتوریل به زبان ساده» آشنا شدیم و اکنون می دانیم که حاصل ضرب فوق برابر با فاکتوریل عدد n می باشد پس تعداد جایگشت های n شی متمایز برابر با n فاکتوریل و به صورت زیر می باشد:

مثال ۱ از جایگشت:

با ۵ حرف “الف، ب، ج، د و ه” چند کلمه ۵ حرفی (معنادار یا بدون معنی) می توان ساخت.

پاسخ مثال ۱ از جایگشت:

خب، مشخص است که در اینجا با ۵ حرف متمایز از حروف الفبای زبان فارسی مواجه هستیم که می خواهیم ببینیم به چند حالت متمایز می توان این حروف را در کنار هم برای ساخت یک کلمه، قرار داد. تعداد این حالات برابر با ۵ فاکتوریل و به صورت زیر می باشد:

پس با این حروف در مجموع می توان ۱۲۰ کلمه پنج حرفی (چه کلمات معنی دار و چه کلمات بدون معنی) ساخت.

جایگشت های r تایی از n شی متمایز

مثال ۲ از جایگشت:

با ۵ حرف “الف، ب، ج، د و ه” چند کلمه ۳ حرفی (معنادار یا بدون معنی) می توان ساخت؟ (بدون تکرار حروف)

پاسخ مثال ۲ از جایگشت:

در اینجا نیز معلوم است که برای جایگاه اول ۵ حالت، جایگاه دوم ۴ حالت و جایگاه سوم ۳ حالت وجود دارد و طبق اصل ضرب تعداد کل حالات برابر است با:

به صورت کلی می خواهیم ببینیم تعداد جایگشت های r تایی از n شی متمایز چقدر است؟ برای پاسخ به این سوال به ترتیب برای تمامی r جایگاه تعداد حالات را محاسبه می نماییم به صورت زیر:

جایگاه اول: برای این جایگاه کلیه n شی می توانند قرار گیرند.

جایگاه دوم: برای این جایگاه کلیه n شی غیر از آن شی که در محل اول جای گرفته است، می توانند قرار گیرند. پس برای این جایگاه n-1 حالت داریم.

جایگاه سوم: برای این جایگاه کلیه n شی غیر از آن دو شی که در محل های اول و دوم قرار گرفته اند، می توانند قرار گیرند. پس برای این جایگاه n-2 حالت داریم.

به همین صورت روند ادامه پیدا می کند تا به جایگاه آخر یعنی جایگاه r ام می رسیم.

جایگاه r ام: تا قبل از این جایگاه r-1 شی از n شی در جایگاه های قبلی قرار گرفته اند. پس تعداد اشیا باقیمانده برای قرار گرفتن در این جایگاه به صورت زیر می باشد:

پس تعداد کل جایگشت های r تایی از n شی متمایز طبق اصل ضرب به صورت زیر است:

برای بدست آوردن یک فرمول بسته و ساده سازی عبارت فوق، یک کسر مرتبط را به صورت زیر در نظر می گیریم به صورتیکه صورت و مخرج این کسر با هم برابر و در نتیجه مقدار کلی کسر مساوی با ۱ می باشد. به این صورت:

چون این کسر برابر با ۱ می باشد، پس ضرب آن در هر عبارت تغییری در مقدار آن عبارت حاصل نمی کند پس داریم:

در نتیجه داریم:

در نتیجه فرمول بسته و ساده شده برای تعداد جایگشت های r تایی از n شی متمایز به صورت زیر می باشد: