مقالات آمار و احتمال
تابع چگالی احتمال به زبان ساده
بهمن
Table of Contents
متغیر تصادفی پیوسته
یک متغیر تصادفی گسسته متغیری است که مقادیر مربوط به آن در یک مجموعه محدود یا یک دنباله نامحدوده ولی شمارش پذیر قرار دارند. متغیر تصادفی پیوسته متغیری است که مقادیر ممکن برای آن در کل و تمام یک بازه بوده و فقط شامل مقادیر گسسته از هم نباشد. به صورت دقیق تر متغیر تصادفی پیوسته متغیری است که دو شرط زیر را داشته باشد:
- دامنه مقادیر ممکن آن یک بازه یا اجتماعی از چند بازه جدا از هم باشد. در حالتیکه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته مانند X یک بازه باشد هر دو عدد a و b از مجموعه مقادیر ممکن آن را که در نظر بگیریم به صورتیکه a<b آنگاه هر مقدار دیگر بین a و b هم جز مقادیر ممکن (Possible Values) متغیر تصادفی X می باشد.
- به ازای هر عددی مانند c در مجموعه مقادیر ممکن متغیر تصادفی X، احتمال اینکه متغیر تصادفی دقیقا برابر با c شود، مساوی با صفر است. به زبان دیگر P(X=c)=0
مثال ۱ از متغیر تصادفی پیوسته:
در حال مطالعه بر روی یک میدان نفتی و نمونه برداری از آن هستیم. عمق چاه های موجود در این میدان در نقاط مختلف یک متغیر تصادفی پیوسته به نام X بوده که بین دو عدد A و B در نوسان است، به صورتیکه A عمق کمترین چاه و B عمق بیشترین چاه موجود در این میدان نفتی می باشد.
توزیع های احتمالی برای متغیرهای تصادفی پیوسته
فرض کنید که متغیر تصادفی X عمق چاه های نفتی بوده به صورتیکه M ماکزیمم عمق چاه بر حسب متر باشد. در نتیجه هر عدد حقیقی در بازه [۰, M] یک مقدار ممکن برای X است. اگر مقادیر X را به سمت نزدیک ترین عدد صحیح گرد کنیم آنگاه مقادیر ممکن برای عمق چاه اعداد صحیح نامنفی کوچکتر یا مساوی M می شوند. توزیع گسسته مربوط به عمق چاه را می توان با یک هیستوگرام احتمالی نشان داد. فرض نمایید که هیستوگرام به گونه ای ترسیم شود که مساحت مستطیل بالای هر مقدار صحیح k برابر با نسبتی (درصدی) از چاه های با عمق k باشد. در این صورت مجموع مساحت کل مستطیل ها برابر با یک (یا همان ۱۰۰ درصد) خواهد شد. یکی از هیستوگرام های نمونه ای در تصویر زیر نشان داده شده است:
اگر عمق چاه ها با دقت بیشتری اندازه گرفته شود، هیستوگرام نشان دهنده احتمال باریکتر شده به گونهای که مجموع مساحت مستطیل ها باز هم برابر با یک می باشد. در این صورت شکل هیستوگرام دارای همواری بیشتری نسبت به شکل قبلی می باشد. دو تصویر به صورت مقایسه ای در ادامه نشان داده شده اند:
اگر به همین صورت ادامه دهیم و دقت اندازه گیری عمق چاه ها را افزایش دهیم، در نهایت نمودار ترسیمی به سمت یک منحنی پیوسته مانند شکل زیر میل می کند:
از آنجاییکه همواره مجموع مساحت مستطیل ها در شکل های قبلی برابر با یک بود، در نتیجه مساحت زیر منحنی در شکل پیوسته فوق نیز مساوی با یک است. احتمال اینکه عمق یک چاه بین دو عدد a و b باشد نیز برابر با مساحت زیر منحنی بین دو مقدار a و b است. شکل فوق نشان دهنده توزیع احتمالی پیوسته است.
تعریف تابع چگالی احتمال
متغیر تصادفی پیوسته X را در نظر بگیرید. توزیع احتمالی یا تابع چگالی احتمال (Probability Distribution Function=PDF) متغیر X تابعی مانند f(x) بوده به گونه ای که به ازای هر دو عدد a و b که a کوچکتر یا مساوی b باشد، داشته باشیم:
مقدار فوق نشان دهنده احتمال اینکه X در بازه [a, b] قرار بگیرد است که برابر با مساحت بالای این بازه و زیر منحنی تابع چگالی است به صورتیکه در شکل زیر نشان داده شده است:
شکل (f(x را به عنوان منحنی چگالی در نظر می گیرند. (f(x ای که یک pdf (تابع چگالی احتمال) باشد بایستی در دو شرط زیر صدق کند:
ممنونم