امید ریاضی به زبان ساده

امید ریاضی چه چیزی نیست؟

قبل از اینکه فکر کنیم امید ریاضی چه هست و تعریفش چیست، بهتره بدونیم امید ریاضی چه چیزی نمی باشد؟ چه تصورات و برداشت های نادرستی از امید ریاضی وجود دارد؟ معمولا اکثرا وقتی اسم امید ریاضی به وسط می یاد، تصور اشتباه زیر در ذهن شکل می گیرد:

اشتباه گرفتن امید ریاضی با مد (نما)

یکی از تصورات اشتباهی که ممکن است حتی به صورت ناخودآگاه در ذهن شکل گرفته باشد به کار بردن امید ریاضی به جای مد (نما) می باشد. این جملات نادرست را زیاد شنیده ام که حاضرین بیان داشته اند که امید ریاضی یعنی «مقداری که بیشترین احتمال وقوع را دارد»، «مقداری که بیشتر انتظار داریم آن را ببینیم»، «مقداری که انتظار داریم بیشتر از بقیه آن را ببیینیم»، «مقداری که امید داریم آن را ببینیم»، «اگر یک آزمایش تصادفی را بی نهایت بار تکرار کنیم، مقداری که در نهایت امید داریم آن را ببینیم» و جملاتی از این دست. مثالی که بسیاری از حاضرین نیز بیان میدارند عمر انسان است، مثلا می گویند بیشتر انسان ها حدود ۶۰ عمر می کنند پس امید ریاضی متغیر تصادفی عمر ۶۰ سال می باشد چرا که امید داریم که یک انسان ۶۰ سال عمر کند.

ریشه این برداشت ها و جملات نادرست که در پاراگراف قبلی بیان شد، به این موضوع برمی گردد که در بسیاری از توزیع های مورد مطالعه از جمله توزیع نرمال متقارن میانگین یا امید ریاضی برابر با مقدار نما (مد) شده است، از این رو این تصور ایجاد شده است که امید ریاضی همان یا میانگین همان مد است و گفته می شود که امید ریاضی یعنی مقداری که انتظار داریم آن را ببینیم یا اینکه گفته می شود اگر یک آزمایش را به تعداد زیاد تکرار کنیم امید ریاضی برابر با مقداری است که بیشتر از همه دیده شده است. در شکل زیر یک توزیع نرمال متقارن مشاهده شده است. در چنین حالاتی امید ریاضی برابر با مد (نما) می باشد، اما این موضوع بدین معنا نیست که از نظر مفهومی و در عمل دو مقوله امید ریاضی و مد (نما) یک معنا و مفهوم را می رسانند.

اگر توزیع چوله به راست یا چوله به چپ باشد در این صورت دیگر امید ریاضی برابر با مد (نما) نیست، مانند شکل زیر:

در شکل فوق مشاهده می نمایید که امید ریاضی (میانگین) بیشتر از مد (نما) می باشد. حال در ادامه به تبیین مفهوم امید ریاضی می پردازیم.

امید ریاضی چه چیزی هست؟

امید ریاضی یک متغیر تصادفی بیانگر این مفهوم است که اگر یک آزمایش تصادفی را به تعداد دفعات زیاد (به بی نهایت میل کند) تکرار کنیم، میانگین اعداد مشاهده شده، امید ریاضی نامیده می شود. برای محاسبه این میانگین بایستی کلیه اعداد مشاهده را با هم جمع نموده و تقسیم بر تعداد دفعات تکرار آزمایش تصادفی نماییم.

مثال محاسبه امید ریاضی پرتاب تاس

به عنوان مثال یک تاس منصف را در نظر بگیریم (تاس منصف تاسی است که فضای نمونه آن هم شانس بوده و احتمال ظاهر شدن تمام اعداد آن با هم برابر و مساوی با ۱۶ باشد). اگر آزمایش پرتاب تاس را به تعداد دفعات خیلی زیاد (مثلا ۶ میلیون بار) تکرار کنیم انتظار داریم که هریک از اعداد ۱ تا ۶، حدود یک میلیون بار ظاهر شده باشند. حال وقتی که مجموع اعداد ظاهر شده را با هم جمع و تقسیم بر تعداد دفعات انجام آزمایش (یعنی ۶ میلیون بار) نماییم، عدد میانگین حاصله برابر با ۳.۵ می شود. پس امید ریاضی اعداد حاصله از پرتاب یک تاس منصف برابر با ۳.۵ می شود. آیا تاسی وجود دارد که بعد از پرتاب روی آن عدد ۳.۵ ظاهر شود؟ پس این مثال به خوبی نشان داد که امید ریاضی یک متغیر تصادفی حتی ممکن است برابر با عددی شود که جز مقادیر فضای نمونه آزمایش تصادفی نیز نباشد.