مقالات آمار و احتمال
اثبات امید ریاضی توزیع دو جمله ای
آبان
در اینجا به اثبات امید ریاضی توزیع دو جمله ای و در واقع شیوه بدست آوردن امید ریاضی یک توزیع دو جمله ای با پارامترهای n و p پرداخته می شود. پارامتر p بیانگر احتمال موفقیت در انجام آزمایش های تصادفی و پارامتر n بیانگر تعداد تکرارها (همان تعداد آزمایشات تصادفی) می باشد. می دانیم که تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی دارای توزیع دو جمله ای به صورت زیر می باشد:
در توزیع فوق متغیر تصادفی X بیانگر تعداد موفقیت ها (پیروزی ها) بوده که می تواند از ۰ تا n (تعداد کل دفعات انجام آزمایش تصادفی) تغییر نماید.
طبق تعریف امید ریاضی داریم:
در عبارت فوق در صورتیکه x برابر با صفر باشد حاصل کل عبارت صفر شده در نتیجه تاثیری در محاسبات نداشته و محاسبات مربوط به اثبات امید ریاضی توزیع دو جمله ای با جملات بعدی ادامه می یابد.
در اینجا از عصای جادویی که در بسیاری از محاسبات جبری و اثبات های آمار و احتمال به کار برده می شود (یعنی تغییر متغیر) استفاده می شود. براین اساس تغییر متغیرهای زیر اعمال می شود:
بر اساس تغییر متغیرهای فوق، متغیرهای x و n در عبارت مربوط به محاسبه امید ریاضی متغیر تصادفی توزیع دو جمله ای با عبارات زیر جایگزین می گردد:
همچنین حدود سیگما نیز با عبارات زیر جایگزین می گردد:
در نتیجه خواهیم داشت:
طبق تئوری دو جمله ای، مشخص می شود که عبارت جلوی سیگما بسط دو جمله ای معادل عبارت زیر می باشد:
در عبارت فوق به جای a و b موارد زیر جایگذاری می شود:
در نتیجه مشخص می شود که:
در نتیجه خواهیم داشت:
پس امید ریاضی متغیر تصادفی X که دارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای n و p برابر با np یعنی حاصل ضرب دو پارامتر توزیع دو جمله ای می باشد.
خیلی عالی بود. موفق باشید
سلام آقای الیاس گرامی
خیلی ممنون از پیام دلگرم کننده و امیدواربخش شما
اینگونه کامنت‌ها مسلماً انگیزه تیم نگرش هوشمند را برای توسعه و ارتقاء کمی و کیفی محتوای سایت دوچندان می‌نماید. اگر در رابطه با این مقاله یا سایر موضوعات مرتبط با زمینه های کاری سایت نگرش هوشمند سوال،ابهام و یا پیشنهادی دارید میتوانید مطرح نموده تا مورد بررسی و پاسخگویی قرار گیرد.
صمیمانه متشکریم.
خیلی ممنون مدیر عزیز. اگه به بنده اجازه بدید ، راه حل دومی برای اثبات امید ریاضی توزیع دوجمله ای در اینجا ارائه بدم . نکتهI : ثابت میشود که امید ریاضی دارای خاصیت ریاضی زیر می باشد : ..+(E(x1+x2+x3+..)=E(x۱)+E(x۲)+E(x3 . لذا میتوانیم امید ریاضی تک تک اعضای متغیر تصادفیمان را محاسبه کرده و سپس با هم جمع نمود . فرض میکنیم متغیر تصادفی ما دارای N عضو باشد . یعنی N مرتبه آزمایش را انجام دادیم . تعریف میکنیم X=x1+x2+x3+…+xN . از طرفی چون هر کدام از اعضای متغیر تصادفی ما در اینجا دو حالت شکست و پیروزی را به خود میگیرند ، بنابراین هر کدام از این اعضا خاصیت “توزیع برنولی” را پیدا میکنند . با توجه به اینکه امید ریاضی توزیع برنولی با احتمال پیروزی p برابر است با p , لذا میتوان نوشت E(x1)=E(x2)=…=E(xn)=p بنابراین خواهیم داشت E(x1)+E(x2)+…+E(xn)=p+p+…+p . چون تعداد p ها برابر با n می باشد لذا حاصل این مجموع برابر با np میشود . از طرفی با توجه به خاصیت ذکر‌شده در مورد امید ریاضی خواهیم داشت : E(x1+x2+…)=np در نتیجه E(X)=np
سلام جناب الیاس عزیز
خیلی ممنون بابت به اشتراک گذاری راه حل ارزشمند شما
کاملاً درست فرمودید. یکی از روش های خوب و هوشمندانه برای اثبات امید ریاضی توزیع دو جمله ای در نظر گرفتن متغیر تصادفی دو جمله ای به صورت جمع تعدادی از متغیرهای تصادفی برنولی است که به خوبی و به صورت کامل مراحل مربوطه را بیان فرمودید.
بابت زمانی که اختصاص فرمودید بی نهایت از شما سپاسگزاریم.
امیدواریم که نظرات ارزشمند جنابعالی را در ادامه و چه در این صفحه و چه در سایر مطالب و مقالات سایت هم داشته باشیم که این موضوع مایه بسی خرسندی و افتخار برای تیم نگرش هوشمند خواهد بود.
سلامت و پاینده باشید.