اثبات امید ریاضی توزیع برنولی

شیوه بدست آوردن و محاسبه امید ریاضی بر اساس تابع توزیع جرم احتمال (برای توزیع های گسسته) و یا تابع چگالی احتمال (برای توزیع های پیوسته) یکی از سوالات و موضوعات مورد توجه می باشد. در اینجا امید ریاضی متغیر تصادفی برنولی بر اساس تابع توزیع آن بدست آورده می شود. برای توزیع برنولی احتمال موفقیت با پارامتر p نشان داده می شود. فرم کلی تابع احتمال متغیر تصادفی برنولی به صورت زیر می باشد:

فرم دیگر تابع احتمال به صورت زیر می باشد:

بایستی توجه داشت که امید ریاضی در واقع یک نوع میانگین وزن دار می باشد که به جای وزن ها احتمال وقوع مقادیر متغیر تصادفی (بر اساس تابع توزیع احتمال ارائه شده) قرار داده می شود. پس بر این اساس امید متغیر تصادفی برنولی به صورت زیر بدست می آید:

در نتیجه مشخص می شود که امید ریاضی یک متغیر تصادفی برنولی برابر با همان پارامتر توزیع برنولی نشان دهنده احتمال موفقیت (p) می باشد.