میانگین چیست؟ (صفر تا صد انواع میانگین)

ش

در مقاله «معیارهای گرایش به مرکز و‌ معیارهای پراکندگی» در رابطه با فلسفه و دلیل ارائه معیارهای گرایش به مرکز مانند میانگین صحبت کردیم. به صورت خلاصه متوجه شدیم که وقتی صحبت از معیارهای گرایش به مرکز مانند میانگین می کنیم یعنی می خواهیم یک نماینده از داده ها را به جای کل مجموعه داده ها ارائه نماییم. 

میانگین حسابی (میانگین ساده)

میانگین (یا همان میانگین ساده یا میانگین حسابی) نماینده ای از مجموعه داده ها است که اگر به جای تک تک داده ها آن را ارایه بدهیم در مجموع ارایه شده تغییری ایجاد نمی شود. به عنوان مثال فرض نمایید سه عدد ۲ و ۳ و ۴ را داریم. مجموع این سه عدد برابر با ۹ می باشد. حال می خواهیم به جای این سه عدد یک عدد را بذاریم که مجموع داده ها حفظ شود. یعنی در واقع به دنبال یک x هستیم که به جای سه عدد قرار داده و مجموعه اعدادمون به صورت x و x و x درآید به صورتیکه مجموع آنها یعنی ۳x برابر با مجموع ۲ و ۳ و ۴ یعنی ۹ گردد. خب مشخص است که تنها عددی که این خصوصیت را دارد عدد ۳ می باشد و بایستی به جای۲ و ۳ و ۴ سه تایی ۳ و ۳ و ۳ را قرار دهیم. مشخص است که در هر دو حالت مجموع حفظ شده و همان عدد ۹ می باشد. در حالت کلی برای بدست آوردن x یا همان میانگین، اعداد را جمع کرده تقسیم بر تعداد آنها می نماییم.

در ادامه به بیان مثال‌های مختلف از محاسبه میانگین  ساده یا همان میانگین حسابی پرداخته می شود.

مثال محاسبه میانگین ۱۲ عدد

اعداد زیر را درنظر گرفته و میانگین آنها را محاسبه نمایید:

۸۵ ۷۳ ۱۹ ۶۱ ۹۰ ۸ ۵۴ ۱۴ ۴۰ ۸ ۹۹ ۸۲

پاسخ مثال:

برای پاسخ اعداد زیر را با هم جمع کرده و تقسیم بر ۱۲ می نمایم که حاصل برابر با ۵۲.۷۵ می شود. 

مثال محاسبه میانگین ۱۵ عدد

اعداد زیر را درنظر گرفته و میانگین آنها را محاسبه نمایید:

۴۸ ۷ ۳ ۹ ۹۱ ۹۶ ۹۰ ۲۷ ۲۰ ۵۳ ۵۶ ۱ ۱۶ ۳۳ ۵۳

پاسخ مثال:

برای پاسخ اعداد زیر را با هم جمع کرده و تقسیم بر ۱۵ می نمایم که حاصل برابر با ۴۰.۲ می شود.

فیلم محاسبه میانگین

همچنین در لینک زیر میتوانید فیلم مربوط به محاسبه میانگین را را دریافت نمایید:

فیلم انیمیشنی مربوط به محاسبه میانگین

تست های محاسبه میانگین حسابی

در این قسمت به بیان تست ها و سوالات چهار گزینه ای در رابطه با میانگین حسابی پرداخته می شود.

تست:

میانگین اعداد زیر چند است؟

۸, ۹, ۱۳, ۱۸

الف) ۱۰

ب) ۱۱

ج) ۱۲

د) ۱۶

پاسخ تست:

ابتدا اعداد را با هم جمع نموده که حاصل به صورت زیر می شود:

۸ + ۹ + ۱۳ + ۱۸ = ۴۸

سپس جمع حاصل را تقسیم بر تعداد آنها ( که در این مثال تعداد برابر با ۴ است)  می نمایید و پاسخ به صورت زیر می شود :

۴۸ ÷ ۴ = ۱۲

پس گزینه ج صحیح است.

تست:

دانش آموزی در یک آزمون شرکت کرده و در دروس مختلف درصد های زیر را به دست آورده است. میانگین نمره وی چقدر است؟

۱

الف) ۵۱.۴%

ب) ۵۴.۵%

ج) ۵۹.۵%

د) ۶۰%

پاسخ تست:

ابتدا اعداد را با هم جمع نموده که حاصل به صورت زیر می شود:

۵۱ + ۶۲ + ۷۰ + ۳۹ + ۸۱ + ۵۷ = ۳۶۰

سپس جمع حاصل را تقسیم بر تعداد آنها ( که در این مثال تعداد برابر با ۶ است)  می نمایید و پاسخ به صورت زیر می شود :

۳۶۰ ÷ ۶ = ۶۰

پس گزینه د صحیح است.

تست:

یک جزوه شامل ۱۲ صفحه بوده و  تعداد کلمات در هر صفحه آن به صورت زیر است:

۲۷۱, ۳۵۴, ۲۹۶, ۳۰۱, ۳۳۳, ۳۲۶, ۲۸۵, ۲۹۸, ۳۲۷, ۳۱۶, ۲۸۷, ۳۱۴

به طور متوسط هر صفحه از این جزوه شامل چند کلمه می باشد؟

الف) ۳۰۷

ب) ۳۰۹

ج) ۳۱۱

د) ۳۱۳

پاسخ تست:

ابتدا اعداد را با هم جمع نموده که حاصل به صورت زیر می شود:

 ۲۷۱ + ۳۵۴ + ۲۹۶ + ۳۰۱ + ۳۳۳ + ۳۲۶ + ۲۸۵ + ۲۹۸ + ۳۲۷ + ۳۱۶ + ۲۸۷ + ۳۱۴= ۳,۷۰۸

سپس جمع حاصل را تقسیم بر تعداد آنها ( که در این مثال تعداد برابر با ۱۲ است)  می نمایید و پاسخ به صورت زیر می شود :

۳,۷۰۸ ÷ ۱۲ = ۳۰۹

پس گزینه ب صحیح است.

تست:

میانگین اعداد زیر چند است؟

۱۲, -۱, ۸, ۲, -۱۰, ۰, -۵, ۳, ۲۰, -۲

الف) ۶.۳

ب) ۵.۳

ج) ۳.۷

د) ۲.۷

پاسخ تست:

ابتدا اعداد را با هم جمع نموده که حاصل به صورت زیر می شود:

۱۲ + (-۱) + ۸ + ۲ + (-۱۰) + ۰ + (-۵) + ۳ + ۲۰ + (-۲) = ۲۷

سپس جمع حاصل را تقسیم بر تعداد آنها ( که در این مثال تعداد برابر با ۱۰ است)  می نمایید و پاسخ به صورت زیر می شود :

 ۲۷ ÷ ۱۰ = ۲.۷

پس گزینه د صحیح است.

تست:

میانگین ۱۵ عدد برابر با ۱۲ شده است. یک عدد جدید به این مجموعه اضافه شده و درنتیجه میانگین به ۱۳ ارتقا می یابد.  به ما بگویید عدد جدید اضافه شده کدام یک از گزینه های زیر است؟

الف) ۱۲

ب) ۱۳

ج) ۲۵

د) ۲۸

پاسخ تست:

ابتدا می‌دانیم که میانگین ۱۵ عدد برابر با ۱۲ شده است پس مجموع ۱۵ عدد به صورت زیر به دست می آید:

۱۵ × ۱۲ = ۱۸۰

 حالا می‌دانیم که میانگین ۱۶ عدد برابر با ۱۳ شده است پس مجموع ۱۶ عدد به صورت زیر به دست می آید:

۱۶ × ۱۳ = ۲۰۸

 از تفاضل دو مجموع به دست آمده می توانیم متوجه شویم که عدد جدید اضافه شده چه بوده است:

۲۰۸ – ۱۸۰ = ۲۸

پس گزینه د صحیح است.

 

میانگین وزنی

در میانگین ساده یا همان میانگین حسابی به هر یک از اعداد وزن مساوی داده می شود. به عنوان مثال اعداد ۱ تا ۴ را در نظر بگیرید و می‌بینیم که با دادن وزن و اهمیت مساوی به هر یک از اعداد ۱ تا ۴ میانگین آنها برابر با ۲.۵ و به صورت زیر می شود:

۱

برای بدست آوردن میانگین، اعداد یک تا چهار با هم جمع شده و سپس تقسیم بر تعداد آنها (که در اینجا تعداد برابر با ۴ است) می شود به صورت زیر:

۲

وزن ها (ضرایب وزنی) در میانگین وزنی

 در واقع در این حالت می توانیم فرض کنیم که تمامی اعداد دارای وزن مساوی و برابر با یک چهارم می‌باشند. چون تعداد کل اعداد مورد نظر ۴ است، بنابراین وزن نیز برابر با یک تقسیم بر چهار یعنی یک تقسیم بر تعداد کل اعداد در نظر گرفته می شود، به صورت زیر: 

۳

که در اینجا نیز می بینید به همان پاسخ ۲.۵ برای میانگین رسیدیم.

حالا فرض کنید که وزن عدد ۳ را به  به ۰.۷ و وزن سایر اعداد را به ۰.۱ تغییر دادیم دقت نمایید که همچنان مجموع وزن ۴ عدد برابر با یک می باشد. میانگین وزنی اعداد در این حالت به صورت زیر به دست می آید:

۴

خب می بینیم که در این حالت میانگین وزنی کمی بزرگتر شد و در در واقع به سمت ۳ هول داده شد. دلیل این موضوع افزایش وزن ۳ نسبت به حالت قبل می باشد. 

پس تا اینجا به یک نتیجه خیلی مهم رسیدیم: وقتی که برخی از اعداد وزن بیشتری نسبت به بقیه می گیرند، نقطه مرکزی یا همان میانگین می تواند دچار تغییر شود. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است:

۵

استفاده از میانگین وزنی برای تصمیم‌گیری

در دنیای واقعی میانگین وزنی می تواند به اتخاذ تصمیمات در هنگامی که برخی از موضوعات و آیتم ها دارای اهمیت بیشتری نسبت به سایرین باشد، به ما کمک نماید.

مثال:

به عنوان مثال علی را در نظر بگیرید که می خواهد یک دوربین جدید را خریداری نماید. او سه معیار مهم برای تصمیم گیری و انتخاب دوربین مناسب برای خرید در نظر دارد که این معیارها و وزن آن ها به صورت زیر می باشند:

  • کیفیت تصویر با وزن ۵۰ درصد
  • عمر باتری با وزن ۳۰ درصد
  • قابلیت زوم با وزن ۲۰ درصد

۹

علی بین خرید دوربین از برندهای سونی و کنون مردد است. دوربین سونی در رابطه با هر یک از سه معیار فوق امتیازات زیر را از نظر علی کسب نموده است:

  • کیفیت تصویر: ۱۰
  • عمر باتری: ۶
  • قابلیت زوم: ۷

 همچنین امتیازات دوربین کنون نیز به صورت زیر به دست آمده است:

  • کیفیت تصویر: ۹
  • عمر باتری: ۴
  • قابلیت زوم: ۶

سوالی که برای علی مطرح است این است که کدام یک از دو دوربین سونی و کنون برای وی و با توجه به معیارهای مهم برای او مناسب تر می باشند؟ به این منظور میانگین وزنی حاصل از امتیازات دو دوربین را به صورت زیر به دست می آوریم: 

دوربین سونی:

۰.۵ × ۸ + ۰.۳ × ۶ + ۰.۲ × ۷ = ۴ + ۱.۸ + ۱.۴ = ۷.۲

دوربین کنون:

 ۰.۵ × ۹ + ۰.۳ × ۴ + ۰.۲ × ۶ = ۴.۵ + ۱.۲ + ۱.۲ = ۶.۹

خب با توجه به امتیازات کسب شده مشخص می‌شود که دوربین سونی امتیاز بیشتری را کسب کرد و بنابراین بیشتر با نیازهای علی منطبق می باشد و تصمیم مناسب در اینجا خرید دوربین سونی می باشد.

حالتی که مجموع وزن ها برابر با یک نمی شود.

 در حالتی که مجموع وزن های داده شده برابر با یک  نباشد، بایستی در ابتدا مجموعه وزن ها را محاسبه نمود و سپس هر یک از وزن ها را بر مجموع کل تقسیم نمود. برای فهم بهتر این مطلب  با یک مثال ادامه می‌دهیم.

 مثال:

 مینا را در نظر بگیرید که به دلیل رژیم غذایی خود و تصمیم برای کاهش وزن برخی از  روزها ناهار نمی خورد. این موضوع را در طی چند هفته گذشته بررسی کردیم و نتایج زیر در رابطه با رفتار غذای مینا به دست آمده است:

  • در دو هفته فقط یک بار در کل هفته ناهار خورده است.
  • در ۱۴ هفته او در کل هفته دوبار ناهار خورده است.
  • در هشت هفته در کل هفته ۵ بار موفق به صرف ناهار شده است.
  • و در ۳۲ هفته کل هفت روز هفته را ناهار می نموده است.

۶

اکنون این سوال مطرح می‌شود که مینا در هر هفته به طور میانگین چند بار نهار خورده است؟

در اینجا باید ابتدا محاسبه وزن ها بپردازیم. به این منظور از آمار داده شده در رابطه با هفته ها استفاده می کنیم تا مبنایی را برای محاسبه وزن ها در میانگین وزنی به دست آوریم. بر این اساس ابتدا تعداد هفته ها را در تعداد روزهای که در آن هفته ها ناهار صرف نموده، ضرب می‌کنیم که نتیجه به صورت زیر به دست می آید: 

هفته ها× ناهارها= ۲ × ۱ + ۱۴ × ۲ + ۸ × ۵ + ۳۲ × ۷

 ۲ + ۲۸ + ۴۰ + ۲۲۴ = ۲۹۴

تعداد کل هفته ها را به صورت زیر با هم جمع می کنیم: 

 ۲ + ۱۴ + ۸ + ۳۲ = ۵۶

از تقسیم دو عدد فوق یعنی تعداد کل ناهارهای صرف شده تقسیم بر تعداد کل هفته ها (۲۹۴ تقسیم بر ۵۶)، میانگین وزنی به صورت زیر به دست می آید:

۲۹۴/۵۶= ۲.۵

نمای گرافیکی و شماتیک مثال در شکل زیر نشان داده شده است: 

۷

اما باید توجه نمود که در چنین مساله‌ای بهتر است تا از جداول استفاده شده تا اطمینان حاصل شود که تمامی اعداد به شکل صحیح در محاسبات در نظر گرفته شده‌اند. بنابراین یک بار با ترسیم جدول این مسئله را حل می کنیم. 

w: تعداد هفته ها یا همان وزن ها

x: تعداد ناهارهای صرف شده در هر هفته که ما می‌خواهیم میانگین های آنها را به دست آوریم. 

مقادیر فوق و حاصل  ضرب آنها در جدول زیر نشان داده شده است: 

ضرایب وزنی
w
ناهارها
x
wx
۲ ۱ ۲
۱۴ ۲ ۲۸
۸ ۵ ۴۰
۳۲ ۷ ۲۲۴
Σw = 56 Σwx = 294

در جدول فوق علامت سیگما برای جمع مورد استفاده قرار گرفته است. در نهایت از حاصل تقسیم جمع ستون wx بر جمع ستون w،  میانگین وزنی به صورت زیر به دست می آید:

۲۹۴/۵۶= ۲.۵

که در این حالت نیز می بینید پاسخ مانند حالت قبل می باشد. بر این اساس فرمول کلی میانگین وزنی به صورت زیر به دست می آید:

۸

می‌توان دستورالعمل محاسبه میانگین وزنی را به صورت زیر جمع‌بندی نمود:

هر یک از مقادیر وزنی w در مقدار متناظر x ضرب می شود. سپس کلیه مقادیر با هم جمع شده و تقسیم بر جمع کل ضرایب وزنی می گردد. حاصل برابر با میانگین وزنی می باشد.

میانگین هندسی

میانگین هندسی یک نوع خاص از میانگین بوده که در آن اعداد در یکدیگر ضرب شده و ریشه چندم آن گرفته می شود.  در صورتی که دو عدد در هم ضرب شوند برای محاسبه میانگین هندسی ریشه دوم یا همان جذر آنها گرفته می‌شود.  همچنین در صورتی که ۳ عدد در یکدیگر ضرب شوند، ریشه سوم یا کعب حاصل ضرب  آنها گرفته می شود. برای  حالات دیگر نیز به صورت مشابه میانگین هندسی را نیز می توان به دست آورد.

 مثال:

 میانگین هندسی اعداد ۲ و ۱۸ چقدر است؟

 پاسخ:

 در ابتدا اعداد ۲ و ۱۸ را در یکدیگر ضرب می کنیم که حاصل برابر با ۳۶ به صورت زیر می شود:

۲ × ۱۸ = ۳۶

 سپس از آنجایی که دو عدد در اینجا داده شده است پس بایستی ریشه دوم یا همان جذر آنها گرفته شود که می دانیم جذر عدد ۳۶ برابر با ۶ می باشد. پس از میانگین هندسی دو عدد ۲ و ۱۸ برابر با ۶ می شود.

در واقع در اینجا می توانید یک مستطیل به ابعاد ۲ و ۱۸ را به صورت زیر در نظر بگیرید. می‌دانیم که مساحت مستطیل برابر با ۳۶ می شود. از سوی دیگر اگر یک مربع  با طول ۶ (که همان میانگین هندسی ۲ عدد می باشد) را نیز در نظر بگیرید، می بینید که مساحت مربع نیز برابر با ۳۶ شده است. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است:

۱

مثال:

میانگین هندسی اعداد زیر را به دست آورید:

۱۰, ۵۱.۲, ۸

در ابتدا باید حاصل ضرب سه عدد داده شده را محاسبه نماییم، به صورت زیر

۱۰ × ۵۱.۲ × ۸ = ۴۰۹۶

اکنون می‌خواهیم میانگین هندسی ۳ عدد را محاسبه نماییم. باید ریشه سوم حاصلضرب فوق را به دست آوریم که به صورت زیر به دست می آید:

 ۳√(۱۰ × ۵۱.۲ × ۸) = ۱۶

در واقع در اینجا می توانید یک مکعب به ابعاد اعداد داده شده را به صورت زیر در نظر بگیرید. می‌دانیم که حجم مکعب برابر با  ۴۰۹۶ میشود. از سوی دیگر اگر یک  مکعب با  طول ضلع ۱۶ که همان میانگین هندسی ۳ عدد می باشد را نیز در نظر بگیرید، حجم مکعب نیز برابر با ۴۰۹۶  می‌گردد. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است:

۲

مثال: 

 میانگین هندسی اعداد زیر را به دست آورید:

۱, ۳, ۹, ۲۷, ۸۱

 در ابتدا حاصل ضرب اعداد فوق را به صورت زیر محاسبه می نماییم:

۱ × ۳ × ۹ × ۲۷ × ۸۱ = ۵۹۰۴۹

 سپس با توجه به این که ۵ عدد داده شده است، ریشه پنجم حاصل ضرب فوق را به دست می آوریم:

 ۵√(۱ × ۳ × ۹ × ۲۷ × ۸۱) = ۹

 از آنجایی که در رابطه با پنج بعد داریم صحبت می کنیم، طبیعتاً نمی توانیم نمای تصویری موضوع را داشته باشیم. اما از نظر محاسباتی رابطه زیر مشابه حالات قبل در رابطه با ۵ عدد نیز برقرار می باشد:

۱ × ۳ × ۹ × ۲۷ × ۸۱  =  ۹ × ۹ × ۹ × ۹ × ۹

مثال:

میانگین هندسی یک مولکول و یک کوه را به دست آورید.

 پاسخ:

بر اساس جستجو در اینترنت ابعاد یک مولکول و قله اورست را به صورت زیر بر حسب متر به دست آوردیم:

اندازه مولکول: ۰.۲۷۵ × ۱۰-۹ متر

ارتفاع قله اورست: ۸.۸ × ۱۰۳ متر

در نتیجه میانگین هندسی دو عدد فوق به صورت زیر به دست می آید: 

 √(۰.۲۷۵ × ۱۰-۹ × ۸.۸ × ۱۰۳)

 = √(۲.۴۲ × ۱۰-۶)

 ≈ ۰.۰۰۱۶ m

میانگین هندسی به دست آمده تقریباً برابر بار ۱.۶ میلیمتر است که تقریباً برابر با ضخامت یک سکه می باشد. یعنی نتیجه جالب و عجیبی که از این محاسبه به دست می آید این است که یک میلیمتر تقریباً حد وسط بین یک مولکول و کوهی به ابعاد قله اورست میباشد!!!

برای به دست آوردن درک بهتر از ابعاد اشیای مختلف تصویر زیر می تواند به ما کمک نماید:

۳

 به یک مثال زیبای دیگر توجه نمایید.

مثال:

 میانگین هندسی یک سلول و کره زمین چقدر است؟

با صرف وقت و جستجو ابعاد مربوط به یک سلول و کره زمین بر حسب متر را به صورت زیر به دست می آوریم:

سلول: ۳ × ۱۰-۸ متر

قطر کره زمین: ۱.۳ × ۱۰۷ متر

  می دانیم که میانگین هندسی ۲ عدد برابر با جذر حاصل ضرب آنها می باشد. پس در این مثال نیز میانگین هندسی به راحتی به صورت زیر به دست می آید:

= √(۳ × ۱۰-۸ × ۱.۳ × ۱۰۷)

= √(۳.۹ × ۱۰-۱)

= √۰.۳۹

≈ ۰.۶ m

حاصل برابر با ۶ دهم متر شد که برابر با طول تقریبی یک بچه می باشد. پس نتیجه جالب به دست آمده از این مثال بدین صورت می باشد که طول قد یک بچه تقریباً به اندازه یک سلول و کره زمین می باشد. بنابراین از مثال های فوق متوجه شدیم که میانگین هندسی به ما راهی برای پیدا کردن یک مقدار بین مواردی که اختلاف آنها با یکدیگر بسیار زیاد می باشد، ارائه می دهد.

تعریف و فرمول میانگین هندسی

برای n عدد داده شده ابتدا تمامی اعداد را در یکدیگر ضرب کرده و سپس ریشه n ام آنها را به دست می آوریم. پس میانگین هندسی به صورت زیر فرمول بندی می شود:

n√(a1 × a2 × … × an)

کاربرد میانگین هندسی

 میانگین هندسی می تواند برای مقایسه اشیا با  اختلاف زیاد در خصوصیات و ویژگی‌های آنها مورد توجه قرار گیرد. برای فهم بهتر این موضوع مطلب را با ذکر یک مثال ادامه می دهیم.

مثال: 

فرض نمایید که شما می خواهید یک دوربین جدید را خریداری نمایید و دو گزینه زیر را پیش رو دارید:

  • گزینه اول شما دارای  زوم برابر با ۲۰۰ بوده که در نظرسنجی‌های به‌عمل آمده امتیاز ۸ را گرفته است.
  • گزینه دوم دارای زوم برابر با ۲۵۰ بوده و در نظرسنجی ها امتیاز ۶ را به دست آورده است.

۴

پاسخ مثال: 

اگر بخواهیم از میانگین ساده یا همان میانگین حسابی استفاده نمایید، نتایج مقایسه دو دوربین به صورت زیر می شود:

(۲۰۰+۸)/۲ = ۱۰۴ 

(۲۵۰+۶)/۲ = ۱۲۸

که در اینجا به علت بزرگ بودن اعداد مربوط به زوم در واقع اعداد مربوط به امتیاز کسب شده از کاربران تقریباً ارزش و اهمیت خود را از دست داده است.

اما در صورتی که از میانگین هندسی استفاده نماییم، مقایسه مربوط به دو دوربین به صورت زیر به دست می آید:

√(۲۰۰ × ۸) = ۴۰

√(۲۵۰ × ۶) = ۳۸.۷

 همانطور که مشاهده می نمایید دوربین دوم با اینکه دارای زوم به اندازه ۵۰ واحد بزرگتر نسبت به دوربین اول بوده است، اما به علت امتیاز پایین تر ۶ نسبت به دوربین اول در نهایت میانگین هندسی کمتری گرفته است. پس می بینید که با در نظر گرفتن میانگین هندسی، ارزش و اهمیت امتیاز کاربران نیز در نظر گرفته شده است. 

میانگین هارمونیک

میانگین هارمونیک که میانگین همساز با میانگین توافقی نیز گفته می شود.  میانگین هارمونیک را می‌توان در یک جمله خلاصه به صورت زیر تعریف نمود:

 میانگین هارمونیک معکوس میانگین معکوس هاست!!!

مسلم است که شما هم با این تعریف کمی سردرگم شده اید. اما در ادامه باهم تمامی ابعاد و زوایای میانگین هارمونیک را با مثال باز خواهیم نمود تا به مطلب برای شما شفاف و واضح شود.

فرمول میانگین هارمونیک به صورت زیر می باشد:

۱

در فرمول فوق اعداد مورد نظر برای محاسبه میانگین شامل اعداد زیر بودند:

a,b,c,…

 تعداد این اعداد نیز برابر با n بوده است.  

 حال برای سادگی موضوع عملیات محاسبه میانگین هارمونیک را گام به گام با هم پی می گیریم:

  • اولین گام محاسبه معکوس هر عدد داده شده است.
  • دومین گام محاسبه میانگین اعداد به دست آمده در گام اول می باشد. به زبان دیگر یعنی میانگین معکوس ها را محاسبه می نماییم برای این کار آنها را با هم جمع کرده تقسیم بر تعدادشان می نماییم.
  • سومین گام به گام نهایی معکوس نمودن میانگین به دست آمده در گام دوم می باشد.

برای فهم بهتر است که گام فوق در ادامه با هم یک مثال را مرور خواهیم نمود.

مثال:

میانگین هارمونیک اعداد زیر را به دست آورید: 

۱, ۲, ۴

پاسخ مثال:

گام به گام طبق دستورالعمل گفته شده جلو می رویم

طبق گام اول معکوس اعداد داده شده را به دست می‌آوریم که به صورت زیر می گردد:

۲

حال اعداد فوق را با هم جمع می کنیم که حاصل به صورت زیر می شود:

۱ + ۰.۵ + ۰.۲۵ = ۱.۷۵

اکنون عدد فوق را تقسیم بر تعدادشان می نماییم که حاصل به صورت زیر می گردد:

۳

در نهایت در گام سوم میانگین به دست آمده را معکوس می نماییم که به صورت زیر می شود و میانگین هارمونیک به صورت زیر به دست می آید:

۴

کاربرد میانگین هارمونیک در محاسبه نرخ

در مسائلی برای محاسبه نرخ متوسط می توان به خوبی از میانگین هارمونیک استفاده نمود. برای شفاف شدن بحث مطلب را با یک مثال دنبال می نماییم.

مثال:

فرض کنید خودرویی ۱۰ کیلومتر اول را با سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت و ۱۰ کیلومتر بعدی را با سرعت ۲۰ کیلومتر بر ساعت طی می کند. حالا به ما بگویید سرعت متوسط این خودرو چقدر است؟

برای محاسبه سرعت متوسط از میانگین هارمونیک به صورت زیر استفاده می کنیم:

۵

طبق محاسبات فوق مشخص می‌شود که سرعت متوسط این خودرو در طول کل ۲۰ کیلومتر طی شده برابر با ۳۰ کیلومتر بر ساعت بوده است.  

برای اطمینان می توان موضوع را از یک روش دیگر و به صورت زیر نیز حل کنیم: طبق صورت مسئله می‌دانیم که در کیلومتر اول با سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت طی شده است پس ۱۰ کیلومتر اول کلاً در در ۱۰ دقیقه طی شده اند. همچنین می‌دانیم که ۱۰ کیلومتر بعدی با سرعت ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت طی شده است. پس مشخص می شود که ۱۰ کیلومتر دوم کلاً در ۳۰ دقیقه طی شده است. جمع بندی اینکه کل مسافت ۲۰ کیلومتر در ۴۰ دقیقه طی شده است که به راحتی مشخص می‌شود که سرعت متوسط کل ما در تمام مسیر برابر با ۳۰ کیلومتر بر ساعت بوده است. میانگین هارمونیک در این نوع از مثال ها یک روش سریع برای محاسبه سرعت متوسط در تست های فیزیک کنکور نیز می باشد. 

کاربرد میانگین هارمونیک در  شناسایی داده های پرت (نویزی)

یکی دیگر از کاربردهای جالب و جذاب میانگین متحرک پیدا کردن داده های پرت می باشد. به یک مثال توجه نمایید.

 مثال:

چهار عدد زیر را در نظر بگیرید:

۲, ۴, ۶, ۱۰۰

میانگین حسابی یا همان میانگین ساده ۴ عدد فوق به صورت زیر به دست می‌آید که برابر با ۲۸ می شود:

۶

اما وقتی که از میانگین هارمونیک استفاده می نماییم طبق محاسبات زیر مشخص می‌شود که میانگین هارمونیک ۴ عدد فوق برابر با ۴.۳۲ شده است:

۷

تفاوت زیاد و چشمگیر بین میانگین ساده و میانگین هارمونیک ناشی از داده پرت در مثال فوق بوده که در این مثال داده پرت عدد ۱۰۰ می باشد که فاصله زیادی با بقیه داده‌های ارائه شده دارد.

روش دیگر برای نمایش میانگین هارمونیک

 میانگین هارمونیک را می توانیم بر اساس رابطه زیر نیز نمایش دهیم:

۸

دقت نمایید که محاسبه بر اساس رابطه فوق کار ساده و سراستی نمی‌باشد. اما از نظر ظاهری فرمول فوق نمایش بهتری ارائه داده و معمولاً مخاطبین با آن ارتباط بهتری برقرار می کنند. چرا که در یک سمت فرمول در صورت کسر ها عدد n را مشاهده می نمایید و در سمت دیگر n تا عدد یک وجود دارد. 

همچنین در مخرج کسر در سمت چپ میانگین هارمونیک و در سمت راست مقادیر داده ها قرار داده شده اند. از این رو فرمول فوق نمایش تصویری و فرمولی قابل فهم تر و متعادل تری از میانگین هارمونیک را ارائه می دهد. اما از نظر پاسخ نهایی هیچ تفاوتی نمی کند که از کدام فرمول شما استفاده نمایید و هر دو فرمول در واقع و در اصل یک فرمول بوده و به یک جواب منتهی می شوند.  

رای دادن به این post

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.