متغیر تصادفی و توزیع برنولی

متغیرهای تصادفی از جنبه های مختلف قابل تقسیم بندی و بررسی می باشند که مهم ترین آنها عبارتند از:

متغیر تصادفی می تواند بر روی تکرار یک یا چند مرتبه از یک آزمایش تصادفی تعریف شود.

متغیر تصادفی می تواند دو یا چند (بیشتر از دو) مقدار را اختیار نماید. توجه داشته باشید که متغیر تصادفی نمی تواند فقط یک مقدار را داشته باشد چون در این صورت تبدیل به یک متغیر قطعی و‌ مشخص شده و‌ دیگر جنبه تصادفی و غیرقطعی بودن در آن معنا و‌ مفهومی ندارد.

در رابطه با متغیر تصادفی دارای توزیع برنولی ببینیم جنبه های آن یعنی “تعداد آزمایشات تصادفی” و “تعداد مقادیری که متغیر تصادفی می تواند بگیرد” به چه صورت می باشد. متغیر تصادفی برنولی دارای حداقل تعداد آزمایشات تصادفی بوده و فقط بر روی یک تکرار و‌ یک مرتبه انجام یک آزمایش تصادفی تعریف شود. از سوی دیگر متغیر تصادفی برنولی فقط دو مقدار را می تواند به خود بگیرد. پس از هر دو جنبه مشخص می شود که این متغیر در ساده ترین شکل ممکن تعریف شده است. در ادامه به تشریح متغیر تصادفی برنولی پرداخته می شود.

گفتیم که متغیر تصادفی برنولی می تواند فقط دو مقدار را اختیار نماید. حال این سوال مطرح می شود که این دو مقدار کدامند؟ آیا هر مقادیری می توانند باشند؟ پاسخ به این سوالات ساده و مشخص است. متغیر تصادفی برنولی می تواند تنها دو مقدار صفر و یک را به خود بگیرد. اعداد صفر و یک در متغیر تصادفی برنولی اشاره به یک معنا و مفهوم مشخص دارند. منظور از عدد یک در اینجا رخ دادن و اتفاق افتادن موضوع مورد مطالعه و بررسی می باشد. واضح است که عدد صفر نیز اشاره به عدم اتفاق افتادن موضوع مورد بررسی دارد. در ادامه جهت درک بهتر مطلب به بیان چند مثال از کاربردهای متغیر تصادفی برنولی پرداخته می شود.

رخدادهای زیادی را می توان به کمک توزیع برنولی بیان نمود که برخی از آنها برای مثال به صورت زیر می باشند:

معمولا در متغیر تصادفی برنولی رخ دادن موضوع مورد بررسی را موفقیت یا پیروزی و‌ عدم رخداد آن را شکست در نظر می گیرند. باید در نظر داشت که کلمه موفقیت و پیروزی در اینجا لزوما به معنای مطلوب بودن رخداد پدیده مورد بررسی نمی باشد.  در برخی مواقع مثل رخداد برد تیم مورد نظر در مسابقه ورزشی، موفقیت در آزمایش برنولی مطلوب نیز می باشد. ولی در برخی موارد مثل سیگاری بودن فرد، از نظر تعریف متغیر تصادفی برنولی، موفقیت یا پیروزی بدست آمده است اما این امر به معنای مطلوب بودن نتیجه حاصله (یعنی سیگاری بودن فرد) نیست و اتفاقا در این حالت با یک موضوع نامطلوب و ناخوشایند مواجه هستیم.

متغیر تصادفی دارای توزیع برنولی دارای یک پارامتر می باشد و آن احتمال بروز و رخداد پدیده مورد بررسی (احتمال موفقیت) می باشد که معمولا با p نشان داده می شود. احتمال عدم رخداد پدیده مورد بررسی (احتمال شکست) نیز معمولا با q نشان داده می شود. مشخص است که رابطه زیر بین p و q برقرار است:

‏q=1-p