قانون احتمال کل

خیلی از اوقات در دنیای واقعی به دنبال ارائه اطلاعاتی در سطح کلان یک موضوع بر اساس اطلاعات موضوعات خرد زیرمجموعه آن هستیم. مثلا می خواهیم در رابطه با توان علمی دانش آموزان یک دبیرستان دوره متوسطه دوم اظهار نظر کنیم. برای این موضوع می توان ابتدا اطلاعاتی از دانش آموزان به تفکیک سه پایه دهم، یازدهم و دوازدهم جمع آوری نموده و بر اساس این اطلاعات به جمع بندی و ارائه یک تصویر کلان و اطلاعات جامع در رابطه با وضعیت علمی دانش آموزان این مدرسه اقدام نماییم. تقسیم دانش آموزان به سه پایه دهم، یازدهم و دوازدهم دارای دو ویژگی اصلی است:

• تمامی دانش آموزان در این تقسیم بندی در یکی از گروه های سه گانه (پایه دهم، یازدهم و دوازدهم) حضور دارند.
• هیچ نقطه مشترکی بین این سه گروه وجود ندارد، یعنی هیچ دانش آموزی در دو پایه نیست و صرفا در یک پایه مشغول به تحصیل است.

دو ویژگی فوق در واقع همان افراز مجموعه دانش آموزان این مدرسه هستند که در قانون احتمال کل مورد نظر است.

در حالت کلی فرض نمایید که فضای نمونه را به m پیشامد زیر افراز کرده ایم:

در این صورت برای بدست آوردن احتمال رخداد هر پیشامد نظیر C روی این فضای نمونه بایستی اشتراک بین پیشامد C با پیشامدهای افراز کننده فضای نمونه را بدست آوریم. پس داریم:

حال هریک از عبارات فوق را بر حسب قانون ضرب احتمال بدست می آوریم، پس داریم:

به رابطه فوق قانون احتمال کل گفته می شود.