فاکتوریل اعداد اعشاری (فاکتوریل اعداد کسری)

ش

در صورت نیاز می توانید برای آشنایی با مفهوم و کاربرد فاکتوریل ابتدا مقاله «فاکتوریل به زبان ساده» را مطالعه بفرمایید.

سوالی که در ذهن بسیاری از دانشجویان و دانش آموزان مطرح می شود این است که آیا فاکتوریل برای اعداد اعشاری و کسری نیز قابل محاسبه است؟ واقعیت این است که در نگاه اول و با توجه به تعریف فاکتوریل برای اعداد طبیعی به نظر می رسد که فاکتوریل برای اعداد اعشاری و کسری قابل محاسبه نباشد، اما در یک نگرش وسیع تر مشخص می شود که تابع فاکتوریل در واقع حالت خاصی از تابع گاما می باشد.

فرمول کلی تابع گاما

فرم کلی تابع گاما (Gamma) به صورت زیر قابل ارائه است:

1

ارتباط بین تابع گاما و فاکتوریل در حالت کلی به صورت زیر می باشد:

2

تابع گاما برای کلیه اعداد حقیقی (غیر از اعداد صحیح منفی) قابل محاسبه است در نتیجه برای تمامی اعداد مذکور می توان فاکتوریل را محاسبه نمود.

فرم بازگشتی تابع گاما

تابع گاما دارای یک فرم بازگشتی نیز می باشد که می تواند در محاسبه فاکتوریل اعداد کسری (اعشاری) به خوبی به کار آید و به صورت زیر می باشد:

3

محاسبه فاکتوریل برای اعداد دارای کسر یک دوم

فاکتوریل برای اعداد دارای کسر یک دوم در آمار دارای کاربرد زیادی می باشد، از این رو به صورت ویژه محاسبه فاکتوریل برای این دسته از اعداد کسری را می توان مد نظر داشت. به این منظور نیازمند استفاده از فرم بازگشتی تابع گاما هستیم.

مثال ۱: 

مطلوب است محاسبه فاکتوریل عدد کسری ۱.۵

پاسخ مثال ۱:

به این منظور لازم است که تابع گاما را برای ۲.۵ محاسبه نماییم، چرا که طبق تعریف تابع گاما، مقدار تابع گاما برای ۲.۵ برابر با فاکتوریل ۱.۵ می شود، پس داریم:

4

طبق رابطه بازگشتی تابع گاما، محاسبات ادامه پیدا می کند به صورت زیر:

5

مثال ۲:

فاکتوریل اعداد کسری دارای کسر ۰.۵ و کوچکتر از ۱۰ را با استفاده از فرم کلی تابع گاما محاسبه نمایید.

پاسخ مثال ۲:

پاسخ در جدول زیر ارائه شده است:

6

مثال ۳:

فاکتوریل اعداد کسری دارای کسر ۰.۵ و کوچکتر از ۱۰ را با استفاده از فرم بازگشتی تابع گاما محاسبه نمایید.

پاسخ مثال ۳:

پاسخ در جدول زیر ارائه شده است:

7

 

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *