مقالات آمار و احتمال
ضرب دکارتی دو مجموعه
آبان
کاربرد ضرب دکارتی در دنیای واقعی در جاهایی رخ می دهد که نیاز به تشکیل یک مجموعه از زوج مرتب های حاصل از دو مجموعه مجزا داشته باشیم. کلمه مرتب در عبارت زوج مرتب بدین معناست که ترتیب اعداد در یک زوج (دوتایی) که داخل پرانتز می باشد دارای اهمیت می باشد یعنی (۳,۲) مساوی نیست با (۲,۳).
مراحل انجام ضرب دکارتی دو مجموعه (با مثال)
برای اینکه دید بهتر نسبت به انجام عمل ضرب دکارتی روی دو مجموعه داشته باشیم این موضوع را در قالب یک سری مراحل به صورت سیستماتیک دنبال می نماییم.
مرحله اول: شناسایی زوج مرتب ها
در ابتدا باید بر اساس مفهوم موضوع مورد نظر و مساله تعریف شده نوع زوج مرتب های مورد نیاز را شناسایی نمود.
مرحله دوم: شناسایی مجموعه های مرتبط
در این مرحله بایستی مشخص شود که با چه مجموعه هایی سر و کار داریم و هریک از این مجموعه ها بیانگر چه موضوعی هستند و در چه رابطه ای به ما داده و اطلاعات ارائه می دهند.
مرحله سوم: انجام عملیات ضرب دکارتی دو مجموعه
در این مرحله بر روی دو مجموعه عمل ضرب دکارتی انجام شده و خروجی ارائه می شود. اگر مجموعه اول m عضو و مجموعه دوم شامل n عضو باشد، ضرب دکارتی حاصله طبق اصل ضرب شامل m*n زوج است.
مثال
برای اینکه ابعاد موضوع بهتر مشخص شده و دانش آموزان و دانش جویان بهتر بدانند که در رابطه با انجام عملیات ضرب دکارتی روی دو مجموعه چگونه سه مرحله فوق را بایستی پیاده سازی نمایند موضوع را با یک مثال دنبال می نماییم. به عنوان مثال فرض کنید در یک نمایشگاه تبلیغاتی برگزار شده است که در جریان این نمایشگاه تعدادی از شرکت های تبلیغاتی خدمات خود را به شرکت های صنعتی ارائه می دهند تا بتوانند با جلب نظر آنها موفق به اخذ قراردادهای تبلیغاتی شوند. در کنار این نمایشگاه و در سالن جلسات، مذاکرات و بحث های داغی بین شرکت های تبلیغاتی از یک سو و شرکت های صنعتی از سوی دیگر در جریان است. در روز اول این نمایشگاه ۳ شرکت تبلیغاتی و ۵ شرکت صنعتی حضور دارند. در نظر است که سلسله جلساتی بین شرکت های تبلیغاتی از یک سو و شرکت های صنعتی از سوی دیگر به صورت دو جانبه برگزار شود. چند حالت برای برقراری این جلسات وجود دارد و این حالات کدامند؟
پاسخ مثال
پاسخ مثال را بر اساس اجرای همان سه مرحله دنبال می نماییم.
مرحله اول: شناسایی زوج مرتب ها
در اینجا نیاز به استفاده از مفهوم زوج مرتب داریم. یک زوج مرتب را به عنوان نمونه به صورت (a,b) در نظر بگیریم به صورتیکه قسمت اول زوج مرتب یعنی a نشان گر شرکت های تبلیغاتی حاضر در روز اول نمایشگاه و قسمت دوم زوج مرتب یعنی b نشان دهنده شرکت های صنعتی حاضر در نمایشگاه می باشند.
مرحله دوم: شناسایی مجموعه های مرتبط
در اینجا با دو مجموعه سر و کار داریم، مجموعه اول ۳ عضوی بوده و نشان دهنده شرکت های تبلیغاتی و به صورت زیر می باشد:
A={a1,a2,a3}
مجموعه دوم نیز ۵ عضوی بوده و نشان دهنده شرکت های صنعتی و به صورت زیر می باشد:
B={b1,b2,b3,b4,bw5}
مرحله سوم: انجام عملیات ضرب دکارتی دو مجموعه
حال می خواهیم تعداد حالات برگزاری جلسات بین شرکت های بازرگانی و صنعتی در روز اول نمایشگاه را بدست آوریم. تعداد این حالات طبق اصل ضرب به صورت ۵ ضرب در ۳ یعنی ۱۵ می گردد، مجموعه این حالات طبق ضرب دکارتی دو مجموعه شرکت های تبلیغاتی و صنعتی و به صورت زیر بدست می آید:
