توزیع t

دو متغیر تصادفی مستقل x با توزیع نرمال استاندارد و y با توزیع کای دو و درجه آزادی ν مفروض هستند. در این صورت عبارت زیر دارای توزیع t با درجه آزادی ν می‌باشد. توزیع تی یک توزیع متقارن است.

تابع چگالی این توزیع و همچنین امید ریاضی و واریانس آن به این شکل می‌باشد:

شکل این توزیع و مساحت سمت راست و چپ (α آلفا) نیز به این صورت است:

با توجه به رابطه بالا، واریانس توزیع تی همواره بیشتر از یک که همان واریانس توزیع نرمال استاندارد است می‌باشد و از این رو تفاوت نمودار این دو توزیع به شکل زیر قابل نمایش است.

رابطه توزیع تی با توزیع کوشی

رابطه بالا اینگونه به دست می‌آید:

ساخت توزیع t

از مطالب قبلی داریم:

از این دو عبارت استفاده نموده و:

زیرا صورت یک نرمال استاندارد می‌باشد و مخرج نیز یک کای دو که تقسیم بر درجه آزادی خود شده است. حال این عبارت را ساده نموده به طوری که σها با یکدیگر ساده می‌شوند.

این ساده سازی بسیار مهم است زیرا در اینجا دیگر نیازی به واریانس جامعه که مجهول بود، نداریم و به جای آن از انحراف معیار نمونه S استفاده کردیم.

به این دو عبارت توجه کنید. بعضی می‌گویند که در عبارت دوم مقدار σ مجهول است پس می‌توان به جای آن از S استفاده نمود در نتیجه این عبارت دارای توزیع نرمال خواهد بود. این حرف کاملا اشتباه است. تنها زمانی می‌توان این حرف را پذیرفت که مقدار n بسیار بزرگ باشد زیرا مقدار واریانس در توزیع تی، (n-2)/(n) می‌باشد و مقدار بزرگ n این عبارت را به سمت عدد ۱ متمایل می‌سازد یعنی همان مقدار واریانس در توزیع نرمال استاندارد. و از آنجایی که امید ریاضی در توزیع t مانند توزیع نرمال استاندارد مقدار ۰ را دارد در نتیجه این دو توزیع با تقریب برابر خواهند شد.

فیلم آموزشی

برای دانلود جدول توزیع t روی نوشته زیر کلیک کنید.

t student