توزیع مربع کای (Chi-Square Distribution)

در صورتی که  x_۱, x_۲, x_۳, …, x_v متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع نرمال استاندارد باشند، مجموع مربعات این متغیرها، خود یک متغیر تصادفی دارای توزیع مربع کای با درجه آزادی v (نو) خواهد بود.

امید ریاضی و همچنین واریانس این توزیع به این شرح می‌باشد:

مقدار v (نو) در اینجا، درجه آزادی توزیع مربع کای می‌باشد. توجه داشته باشید که شکل این توضیح متقارن نمی‌باشد و مساحت زیر نمودار آن برابر ۱ است.

به طور مشابه در توزیع کای دو نیز همانند توزیع نرمال مساحت سمت راست را با مقدار آلفا مشخص می‌نماییم. X^۲_(α,ν) یعنی مقداری از از توزیع مربع کای که مساحت سمت راست آن برابر α است.

مساحت سمت راست توزیع مربع کای به این شکل می‌باشد:

مجموع دو متغیر تصادفی مستقل که دارای توزیع مربع کای می‌باشند:

ارتباط بین توزیع مربع کای و توزیع گاما

توزیع مربع کای شکل خاصی از توزیع گاما می‌باشد که این ارتباط به شکل زیر است.

نگاهی به توزیع گاما

در نتیجه از روابط زیر استفاده می‌نماییم:

مثال: حاصل تابع گامای (۷/۲)Γ را بدست آورید.

تابع چگالی مربع کای اینگونه خواهد بود:

درجه آزادی

قضیه مورچه: با هر معادله که حرکت مورچه محدود تر شود، درجه آزادی حرکت آن کمتر می‌شود.

در حالتی که هیچ معادله‌ای برای حرکت مورچه تعریف نشده است، او آزاد است تا در هر یک جهات افقی یا عمودی حرکت کند. در حالتی که یک معادله خطی برای حرکت او تعریف می‌شود، او تنها مجاز به حرکت در مسیر مستقیم آن معادله است و در حالتی که دو معادله برای حرکت تعریف می‌شود، او فقط می‌تواند در نقطه‌ی ثابت تقاطع این دو معادله حضور داشته باشد، یعنی به عبارتی، مورچه برای حرکت، آزادی نخواهد داشت.

با دقت در ارتباط درجه آزادی و تعداد معادلات در هر مرحله به رابطه‌ی زیر پی می‌بریم:

تعداد معادلات – تعداد ابعاد = درجه آزادی

مثال: متغیرهای تصادفی X_۱ با میانگین Μ_۱ و واریانس σ^۲_۱ و  X_۲ با میانگین Μ_۲ و  واریانس  σ^۲_۱ دارای توزیع نرمال و از یکدیگر مستقل هستند. a_۱ تا a_۵ را بر حسب پارامترهای دو توزیع چنان تعریف نمایید که y دارای توزیع مربع کای با درجه آزادی ۲ باشد.

پاسخ:

فیلم آموزشی

برای دانلود جدول توزیع مربع کای روی نوشته زیر کلیک کنید.

Chi square