توزیع مربع کای (Chi-Square Distribution)

مربع کای

در صورتی که  x۱, x۲, x۳, …, xv متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع نرمال استاندارد باشند، مجموع مربعات این متغیرها، خود یک متغیر تصادفی دارای توزیع مربع کای با درجه آزادی v (نو) خواهد بود.

توزیع مربع کای

 

امید ریاضی و همچنین واریانس این توزیع به این شرح می‌باشد:

امید ریاضی و واریانس توزیع مربع کای

مقدار v (نو) در اینجا، درجه آزادی توزیع مربع کای می‌باشد. توجه داشته باشید که شکل این توضیح متقارن نمی‌باشد و مساحت زیر نمودار آن برابر ۱ است.

 

به طور مشابه در توزیع کای دو نیز همانند توزیع نرمال مساحت سمت راست را با مقدار آلفا مشخص می‌نماییم. X۲(α,ν) یعنی مقداری از از توزیع مربع کای که مساحت سمت راست آن برابر α است.

 

مساحت سمت راست توزیع مربع کای به این شکل می‌باشد:

توزیع مربع کای

سمت چپ مربع کای دو

 

مجموع دو متغیر تصادفی مستقل که دارای توزیع مربع کای می‌باشند:

جمع دو مربع کای

 

ارتباط بین توزیع مربع کای و توزیع گاما

توزیع مربع کای شکل خاصی از توزیع گاما می‌باشد که این ارتباط به شکل زیر است.

رابطه مربع کای با توزیع گاما

 

نگاهی به توزیع گاما

توزیع گاما

 

در نتیجه از روابط زیر استفاده می‌نماییم:

8 1

مثال: حاصل تابع گامای (۷/۲)Γ را بدست آورید.

9 1

تابع چگالی مربع کای اینگونه خواهد بود:

تابع توزیع مربع کای

درجه آزادی

قضیه مورچه: با هر معادله که حرکت مورچه محدود تر شود، درجه آزادی حرکت آن کمتر می‌شود.

درجه آزادی

11 1

در حالتی که هیچ معادله‌ای برای حرکت مورچه تعریف نشده است، او آزاد است تا در هر یک جهات افقی یا عمودی حرکت کند. در حالتی که یک معادله خطی برای حرکت او تعریف می‌شود، او تنها مجاز به حرکت در مسیر مستقیم آن معادله است و در حالتی که دو معادله برای حرکت تعریف می‌شود، او فقط می‌تواند در نقطه‌ی ثابت تقاطع این دو معادله حضور داشته باشد، یعنی به عبارتی، مورچه برای حرکت، آزادی نخواهد داشت.

با دقت در ارتباط درجه آزادی و تعداد معادلات در هر مرحله به رابطه‌ی زیر پی می‌بریم:

تعداد معادلات – تعداد ابعاد = درجه آزادی

 

مثال: متغیرهای تصادفی X۱ با میانگین Μ۱ و واریانس σ۲۱ و  X۲ با میانگین Μ۲ و  واریانس  σ۲۱ دارای توزیع نرمال و از یکدیگر مستقل هستند. a۱ تا a۵ را بر حسب پارامترهای دو توزیع چنان تعریف نمایید که y دارای توزیع مربع کای با درجه آزادی ۲ باشد.

13 1

 

پاسخ:

14

 

 

فیلم آموزشی

 

 

برای دانلود جدول توزیع مربع کای روی نوشته زیر کلیک کنید.

Chi square

رای دادن به این post

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

سه × دو =