تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه

یکی از مسائلی که همواره مورد بحث و بررسی قرار می گیرد تعداد زیرمجموعه های k عضوی از یک مجموعه مرجع n عضوی می باشد. فرمول کلی تعیین تعداد زیرمجموعه های k عضوی از یک مجموعه n عضوی برابر با ترکیب k از n و به صورت زیر می باشد:

بر اساس فرمول فوق می توان تعداد زیرمجموعه های k عضوی را (k هر عدد دلخواه) بدست آورد. به عنوان مثال برای k=3 این تعداد را بدست می آوریم.

فرمول تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه

فرمول کلی فوق را مبنا قرار داده و به جای k عدد ۳ را قرار می دهیم، پس داریم:

پس فرمول تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه n عضوی به صورت زیر می شود:

مثال های بدست آوردن تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه:

مثال ۱:

قرار است که در مسابقات ریاضی کلاس یازدهم یک مدرسه، سه نفر اول مشخص شده و به عنوان نمایندگان مدرسه در مسابقات ریاضی استانی شرکت نمایند، این مدرسه ۲۰ دانش اموز کلاس یازدهم دارد. کلا چند حالت برای انتخاب سه نفر برتر و شرکت آنها در مسابقات ریاضی استانی وجود دارد؟

پاسخ مثال ۱:

بر اساس فرمول بدست آمده بایستی ترکیب ۳ از ۲۰ را محاسبه نماییم، چرا که هر ترکیب نشان دهنده انتخاب یک زیرمجموعه ۳ عضوی از کل ۲۰ دانش آموز پایه یازدهم می باشد. پس در فرمول تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه  n را برابر با ۲۰ قرار داده و داریم:

پس در نهایت ۱۱۴۰ ترکیب مختلف برای تعیین سه نفر برنده برای شرکت در مسابقات ریاضی استانی وجود دارد.

مثال ۲:

تعداد زیر مجموعه های سه عضوی مجموعه {۱,۲,۳,۴,۵} چندتا است؟

پاسخ مثال ۲:

واضح است که تعداد زیر مجموعه های این مجموعه برابر با ترکیب ۳ از ۵ یا همان ۱۰ می شود. از فرمول فوق نیز می‌تواند همین عدد ۱۰ را برای پاسخ این سوال به دست آورید. 

بدست آوردن تعداد زیرمجموعه های سه عضوی یک مجموعه با محدودیت

ممکن است در بدست آوردن تعداد زیر مجموعه های سه عضوی یک مجموعه محدودیت خاصی در نظر گرفته شود. مثلاً گفته شود تعداد زیر مجموعه های سه عضوی را بدست بیاورید که حتماً یک عضو مشخص در آن باشد یا حتماً یک عضو مشخص در آن نباشد. در این حالت شما بایستی با توجه به محدودیت بیان شده به محاسبه و به دست آوردن تعداد زیر مجموعه های سه عضوی مورد نظر اقدام نمایید. در ادامه با هم به ذکر یک مثال از حالت با محدودیت می پردازیم.

مثال ۳:

مجموعه A شامل اعداد طبیعی از یک تا ۸ می باشد. تعداد زیر مجموعه های سه عضوی این مجموعه را به صورتی بدست آورید که این زیرمجموعه ها حتماً شامل عدد ۵ باشند.

پاسخ مثال ۳:

خب از صورت مثال مشخص شد که زیر مجموعه های ۳ عضوی مورد نظر حتما باعث شامل عدد ۵ باشند. پس عدد ۵ را به صورت عضو ثابت این زیر مجموعه ها در نظر گرفته و به بررسی دو عضو باقیمانده می پردازیم. وقتی که عدد ۵ به عنوان عضو فیکس و مشخص در نظر گرفته شد از کل مجموعه اولیه ما ۷ عدد باقی می ماند که برای تشکیل یک  زیر مجموعه به دو عضو دیگر غیر از عدد پنج نیاز داریم. پس تعداد  زیرمجموعه های مورد نظر در این مسئله برابر با ترکیب دو از ۷ شده که برابر با عدد ۲۱ می باشد.

اگر در رابطه با این مقاله اشکال و ابهامی دارید می توان در قسمت کامنت ها بیان نمایید تا ارائه توضیحات اضافه ابهام شما برطرف شده و موضوع شفاف تر گردد. همچنین در صورتی که در رابطه با موضوع این مقاله تمرین و یا سوالی دارید که پاسخ آن را نمی دانید، می توانید در قسمت کامنت ها سوال خود را بیان نمایید تا بررسی و پاسخ داده شود. 

به صورت مشابه با این مقاله می توان تعداد زیر مجموعه های دو عضوی و  تعداد زیر مجموعه های چهار عضوی یک مجموعه را نیز به دست آورد که در مقالات مستقل به کلیه این موارد پرداخته شده که با کلیک کردن بر روی  لینک های مشخص شده می توانید به مطالعه آنها بپردازید.