مقالات آمار و احتمال
تابع توزیع تجمعی چیست؟
۰۴
دی
دی
تابع توزیع تجمعی یک تابع صعودی (و نه لزوما صعودی اکید) است که احتمال اینکه یک متغیر تصادفی کوچکتر یا مساوی مقدار معینی باشد را ارائه می نماید. از این رو به این تابع تجمعی گفته می شود که بیان کننده تجمع (جمع) احتمالات رخداد کلیه مقادیر کمتر یا مساوی یک عدد می باشد.
تابع توزیع تجمعی بر اساس تابع چگالی بدست می آید که برای دو متغیر تصادفی گسسته و پیوسته به صورت زیر محاسبه می شود.
الف) تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی گسسته
برای یک مقدار مشخص a، تابع توزیع تجمعی برابر با جمع تابع چگالی کلیه مقادیر کوچکتر یا مساوی a می باشد.
مثال از تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی گسسته
فرض کنید یک تاس سالم داریم، مقدار تابع توزیع تجمعی برای این تاس به ازای مقادیر مختلف را بدست آورید.
پاسخ
متغیر تصادفی X را به صورت عدد حاصل از پرتاب این تاس در نظر بگیرید. از آنجاییکه تاس سالم می باشد، پس احتمال اینکه هریک از اعداد در پرتاب تاس ظاهر شوند با هم مساوی و برابر با یک ششم است. پس در اینجا با یک فضای نمونه هم شانس مواجه هستیم و تابع جرم احتمال (چگالی احتمال) تاس به صورت زیر می باشد:
P(X=1)=1/6
P(X=2)=1/6
P(X=3)=1/6
P(X=4)=1/6
P(X=5)=1/6
P(X=6)=1/6
تابع توزیع تجمعی این متغیر تصادفی را با F(x) نشان می دهیم و به ازای مقادیر مختلف به صورت زیر می باشد:
F(1)=P(X≤۱)=۱/۶
F(2)=P(X≤۲)=P(X=1)+P(X=2)=1/6+1/6=2/6
F(3)=P(X≤۳)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/6+1/6+1/6=3/6
F(4)=P(X≤۴)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4=1/6+1/6+1/6+1/6=4/6
F(5)=P(X≤۵)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6
F(6)=P(X≤۶)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=6/6=1
ب) تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی پیوسته
برای یک مقدار مشخص a، تابع توزیع تجمعی برابر با انتگرال تابع چگالی روی کلیه مقادیر کوچکتر یا مساوی a می باشد.
