برآورد نقطه ای میانگین و واریانس جامعه

ش

در دنیای واقعی در دو صورت نیاز به استفاده از برآورد داریم:

  • شرط اول: یک پارامتر از یک جامعه آماری مجهول باشد و دسترسی به مقدار آن نداشته باشیم.
  • شرط دوم: برای انجام یک هدف و کار مشخص نیاز به تخمین و برآورد (Estimation) مقدار آن پارامتر مجهول داشته باشیم.

در صورت رخ دادن هر دو شرط فوق، نیاز به برآورد یا تخمین داریم. برآورد پلی بین دانسته ها (معلومات) و نادانسته ها (مجهولات) برقرار می نماید. پس بایستی در ابتدا درک درستی از معلومات و مجهولات داشته باشیم.

چه چیزی برای ما مجهول است؟

در آمار عموماً مجهولات پارامترهای مربوط به یک توزیع یا جامعه مورد مطالعه می باشند. مهم ترین پارامترهای مجهول مورد نظر و نیازمند برآورد در دنیای واقعی و کاربردی، میانگین و واریانس می باشند. 

چه چیزی برای ما معلوم است؟

در شرایطی که پارامترهای یک توزیع برای ما نامعلوم می باشند، نمونه گیری به کمک ما می آید و اطلاعات نمونه که برای ما معلوم و مشخص می باشند، یک مبنا و فونداسیون برای برآورد و رسیدن به یک درک و تصور نسبی از پارامترهای مجهول را فراهم می آورند. پس به زبان ساده اطلاعات نمونه برای ما معلوم می باشند که برای برآورد پارامترهای مجهول باید به صورت درست، هدفمند و هوشمندانه مورد استفاده قرار گیرند.

فرآیند رسیدن از معلومات به برآورد مجهولات

حال که معلوم و مجهول مشخص شد باید بر اساس یک روش سیستماتیک و هدفمند بر اساس اطلاعات نمونه (که برای ما معلوم می باشند) پلی به برآورد پارامترهای مجهول (پارامترهای مربوط به توزیع و جامعه آماری مورد مطالعه) بزنیم. این پل بایستی دارای ویژگی هایی باشد تا از استحکام کافی و مطمین برخوردار بوده و بتوان بر روی آن قدم زد. 

ویژگی های برآوردگر (پل معلوم به مجهول)

هر برآوردگر (Estimator) بایستی واجد ویژگی هایی باشد تا بتوان با اطمینان نسبت به عملکرد آن، در دنیای واقعی و در مقام کاربرد آن را مورد استفاده قرار داد. اولین و مهم ترین ویژگی برآوردگرها نااریب بودن (Unbiased) آنها می باشد. برآوردگری نااریب نامیده می شود که امید ریاضی آن برابر با پارامتر مجهول مورد برآورد باشد. این ویژگی در عمل بسیار مهم و تعیین کننده است چرا که به تحلیل گر این اطمینان را می دهد. بایستی توجه نمود که هیچگاه نمی توانیم مطمین باشیم که مقدار یک برآوردگر برابر با مقدار پارامتر مجهول مورد برآورد می باشد و معمولا در هر بار نمونه گیری، برآوردگر مقدار متفاوتی نسبت به دفعات قبلی ارائه می دهد. اما خصوصیت نااریب بودن این اطمینان را به تحلیل گر می دهد که برآوردگر از قابلیت اطمینان مناسبی برخوردار می باشد و برآیند کلی مقادیر بدست آمده از آن در دفعات مختلف نمونه گیری (که در قالب امید ریاضی برآوردگر خود را نشان می دهد) برابر با پارامتر مجهول مورد برآورد می باشد.

برآورد نقطه ای میانگین جامعه

یکی از برآوردگرهای نقطه ای پرکاربرد برای میانگین جامعه، میانگین نمونه است. در ادامه به محاسبه امید ریاضی این برآوردگر می پردازیم تا مشخص شود که آیا این برآوردگر از نوع نااریب می باشد یا خیر؟

میانگین نمونه برابر با میانگین حسابی اعداد حاصل از نمونه گیری می باشد، به صورت زیر:

1

امید ریاضی میانگین نمونه به صورت زیر محاسبه می شود:2

پس مشخص می شود که امید ریاضی میانگین نمونه به عنوان برآوردگر برابر با مقدار پارامتر مجهول (یعنی میانگین توزیع مورد مطالعه) بوده و در نتیجه میانگین نمونه یک براوردگر نااریب برای میانگین جامعه می باشد.

برآورد نقطه ای واریانس جامعه

واریانس نمونه به صورت زیر محاسبه می شود:

3

امید ریاضی واریانس نمونه به صورت زیر محاسبه می شود:

4

در اینجا از یک ترفند طلایی استفاده کرده و به عبارت داخل پرانتز جلوی سیگما به اندازه میانگین توزیع اضافه و سپس کم می کنیم، در نتیجه داریم:

5

می دانیم که امید ریاضی هر نمونه و همچنین میانگین نمونه برابر با امید ریاضی توزیع مورد مطالعه می باشد، یعنی داریم:

6

پس واریانس هر نمونه و همچنین واریانس میانگین نمونه طبق تعریف واریانس به صورت زیر می باشد:

7

در نتیجه داریم:

8

پس مشخص می شود که امید ریاضی واریانس نمونه به عنوان برآوردگر برابر با مقدار پارامتر مجهول (یعنی واریانس توزیع مورد مطالعه) بوده و در نتیجه میانگین نمونه یک براوردگر نااریب برای میانگین جامعه می باشد.

رای دادن به این post

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.