برآوردگری که برای واریانس ابتدا معرفی شد به این شکل بود.
مخرج کسر که عدد ثابت n میباشد پس از صورت کسر شروع میکنیم:
۱- ابتدا یک μ (میانگین جامعه) از آن کم و به آن اضافه میکنیم.
۲- سپس عبارت درجه دو به دست آمده را باز میکنیم و به صورت سه سیگما مجزا از هم مینویسیم:
۳- دقت کنیم که مقدار (Xbar- μ) یک مقدار ثابت است پس در عبارت دوم میتوان آن را از سیگما خارج نمود:
۴- به عبارت زیر توجه کنید
از این عبارت میتوان نتیجه زیر را گرفت
۵- در پرانتز دوم عبارت وسط، n را فاکتور گرفته به این ترتیب دو عبارت (Xbra-μ) خواهیم داشت که آنها را به صورت توان دو مینویسیم.
۶- همانطور که گفته شد عبارت (Xbra-μ) یک مقدار ثابت است به همین دلیل میتوان سیگما در عبارت سوم را به شکل زیر ساده کرد:
با استفاده از این رابطه، امید ریاضی برآوردگر واریانس را بدست میآوریم.
اما نتیجه نشان میدهد S۱۲ برآوردگری اریب است. از این رو به دنبال برآوردگر بهتری میرویم که نااریب باشد:
ساخت مربع کای از S۲