امید ریاضی تابع خطی

ش

در مقاله «امید ریاضی تابعی از متغیر تصادفی» به بدست آوردن و محاسبه تابعی امید ریاضی در حالتیکه به جای یک متغیر تصادفی تابعی از آن متغیر مورد نظر باشد، پرداختیم. حال در این مقاله یک حالت خاص از توابع را مورد بررسی قرار می دهیم که در آن تابع h(X) یک ترکیب خطی از متغیر تصادفی X مثل aX+b باشد. در این حالت می توان E[(X)] را به سادگی از روی E(X) و بدون نیاز به انجام محاسبات اضافی، بدست آورد. بر این اساس خواهیم داشت:

1

یا به صورت معادل می توانیم عبارت بالا را به صورت زیر بیان نماییم:

2

عبارات فوق بیان می دارند که:

امید ریاضی یک تابع خطی برابر است با تابع خطی امید ریاضی E(X)

اثبات امید ریاضی تابع خطی

رابطه فوق که بیان کننده امید ریاضی تابع خطی یک متغیر تصادفی است را می توان به صورت زیر اثبات نمود:

3

حالات خاص امید ریاضی تابع خطی متغیر تصادفی

برخی حالات خاص مهم برای رابطه فوق وجود دارند که در اینجا بررسی می شوند.

حالت خاص اول: وقتی است که b=0 باشد، در نتیجه امید ریاضی تابع خطی متغیر تصادفی X به صورت زیر درمی آید:

4

ضرب نمودن X  در عدد ثابت a عموما واحد اندازه گیری را تغییر می دهد. به عنوان مثال اگر X مربوط به طول و بر حسب اینچ بوده و a=2.54 باشد، ضرب X در a موجب تغییر مقیاس از اینچ به سانتی متر می شود. رابطه فوق بیان می دارد که امید مقیاس جدید (واحد جدید) برابر است با امید ریاضی واحد قدیمی که در ضریب تبدیل a ضرب شده است.

حالت خاص دوم: وقتی است که a=1 باشد، در نتیجه امید ریاضی تابع خطی متغیر تصادفی X به صورت زیر درمی آید:

5

رابطه فوق بیان می دارد که اگر یک عدد ثابت b به هر متغیر تصادفی نظیر X اضافه شود، مقدار امید ریاضی به اندازه همان مقدار ثابت b تغییر می کند (شیفت داده می شود).

رای دادن به این post

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.