امید ریاضی تابعی از متغیر تصادفی

ش

برخی اوقات مایل هستیم تا به جای محاسبه E(X) (یعنی امید ریاضی متغیر تصادفی X)، امید ریاضی تابعی از متغیر تصادفی X مثل h(X) را بدست آوریم. با یک مثال برای فهم بهتر بحث را ادامه می دهیم.

مثال ۱:فرض نمایید که یک فروشنده مجله ۱۰ تا از یک مجله خاص را سفارش می دهد و هر مجله را به قیمت ۶ هزار تومان خریداری می نماید. او مجله ها را برای فروش به قیمت ۱۲ هزار تومان در دکه خود قرار می دهد. همچنین او می داند در صورتیکه بعد از سه ماه یک مجله فروش نرفت باید به عنوان مجله باطله به قیمت ۲ هزار تومان آن را به فروش برساند. در اینجا با موارد زیر سر و کار داریم:

X: متغیر تصادفی تعداد مجله های فروش رفته

h(X): سود خالص حاصل از فروش مجله که به صورت زیر بدست می آید:

۱

در این مساله امید ریاضی تعداد مجله های فروش رفته  یعنی E(X) دارای اهمیت نیست، بلکه امید ریاضی سود خالص حاصل از فروش مجله ها که خود یک تابع از متغیر تصادفی X است، نیز اهمیت زیادی دارد. در ادامه می خواهیم راه حلی ساده برای محاسبه امید ریاضی در چنین حالاتی پیدا نماییم.

مثال ۲:

هزینه انجام تست های تشخیصی (برای شناسایی منشا ایجاد عیب و مشکل در ماشین) بستگی به تعداد سیلندرهای هر خودرو (متغیر تصادفی X) دارد. فرض نمایید که تابع هزینه به صورت زیر می باشد:

۲

متغیر تصادفی Y نشان دهنده هزینه های انجام تست بوده و به صورت زیر می باشد:

۳

پس تابع چگالی دو متغیر تصادفی X و Y به صورت زیر می باشد:

۴

همچنین D استار در رابطه زیر کلیه مقادیر ممکن برای متغیر تصادفی Y (هزینه انجام تست) می باشد که امید ریاضی آن به صورت زیر بدست می آید:

۵

بر اساس مثال فوق یک نتیجه کلیدی و بسیار مهم بدست آوردیم:

برای محاسبه امید ریاضی متغیر تصادفی Y یعنی E(Y) (که در آن Y تابعی از متغیر تصادفی X است)، نیازی به محاسبه تابع چگالی متغیر Y وجود ندارد.

بلکه به جای آن:

امید ریاضی متغیر تصادفی Y یعنی E(Y) مساوی با مینگین وزنی مقادیر ممکن تابع h(x) (به جای x) می باشد.

اگرمقادیر ممکن برای متغیر تصادفی X را با D نشان دهیم و p(x) تابع چگالی متغیر تصادفی x باشد، امید ریاضی هر تابعی از X مانند h(X) به صورت زیر قابل محاسبه است:

۶

تفاوت فرمول فوق با فرمول محاسبه امید ریاضی خود متغیر تصادفی X در این است که در فرمول فوق به جای x مقادیر تابع h(x) قرار داده شده است.

رای دادن به این post

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.