اصل ضرب

اصل ضرب یکی از اصول اساسی شمارش محسوب شده و پایه ای برای بسیاری از مسائل ترکیبیات و آمار و احتمال به حساب می آید. یادگیری این اصل که در عین سادگی دارای کاربرد بسیار زیاد می باشد به خواننده کمک بسیار زیادی در گام های بعدی پیش رو در رابطه با تحلیل درست مسائل مربوط به مبحث شمارش، می نماید. اصل ضرب به صورت ها و شیوه های مختلف قابل بیان است که در ادامه مهم ترین حالات بیان اصل ضرب با مثال های ساده بیان می شود.

بیان اصل ضرب در رابطه با حالات مختلف اشیا

مثال ۱ از اصل ضرب:

یک فروشگاه کفش زنانه را در نظر بگیرید که ۸ مدل کفش مختلف در ویترین خود جهت ارائه به مشتریان قرار داده است. از هر مدل کفش ۶ سایز و اندازه مختلف موجود است. کلا چند نوع کفش در این فروشگاه برای مشتریان وجود دارد؟

پاسخ مثال ۱ از اصل ضرب:

در ابتدا و قبل از هر کاری باید ویژگی­ های مورد نظر از اشیا مورد بررسی مشخص شوند. باید ابتدا فکر کنیم در این مساله چه ویژگی هایی وجود دارند که منجر به تمایز بین اشیا می شوند. در این مثال اشیا همان کفش ها می باشند. با دقت در صورت سوال مشخص می شود که در این سوال دو ویژگی اصلی مدل و اندازه به عنوان ویژگی های متمایزکننده کفش ها در نظر گرفته شده اند. یعنی وقتی که یک خانم کفشی را خریداری نماید باید بتواند به این دو سوال پاسخ روشن و مشخصی دهد:

• چه مدل کفشی را خریداری نموده است؟
• سایز و شماره کفش خریداری شده چیست؟

پس در گام اول هر خانم ۸ انتخاب برای مدل دارد و به ازای هریک از مدل­هایی که انتخاب می نماید ۶ انتخاب برای اندازه و شماره کفش دارد. پس مشخص می شود که در نهایت برای مدل اول ۶ انتخاب، برای مدل دوم ۶ انتخاب، برای مدل سوم ۶ انتخاب، ….، برای مدل هفتم ۶ انتخاب و برای مدل هشتم نیز ۶ امکان انتخاب داریم. پس در نهایت تعداد کل حالات برابر با جمع یک سری ۸ تایی از اعداد ۶ به صورت زیر می شود:

۶+۶+۶+۶+۶+۶+۶+۶=۴۸

در واقع تعداد کل حالات برابر با ضرب دو عدد ۶ و ۸ در یکدیگر شده که همان عدد ۴۸ را به ما می دهد.

پس در این حالت اصل ضرب را برای اشیا دارای دو ویژگی به صورت زیر می توانیم بیان نماییم:

((اگر مجموعه ای از اشیا را بتوان بر اساس یک ویژگی به a حالت (گروه) تقسیم بندی نمود و سپس به ازای هریک از این a گروه بتوان اشیا را بر اساس یک ویژگی دیگر به صورت b حالت (گروه) در نظر گرفت، در مجموع ab حالت (ضرب دو عدد a و b) برای تقسیم بندی و بیان حالات مختلف اشیا وجود دارد.))

بیان فوق مربوط به حالت ساده دوتایی برای اصل ضرب می شود که برای حل مثال ارائه شده کفایت می کند. اما اصل ضرب در حالت کلی به صورت زیر قابل ارائه است.

اگر مجموعه ای از اشیا دارای n ویژگی باشند که هر ویژگی بتواند به تعداد حالات زیر موضوعیت داشته باشد:

در مجموع تعداد کل حالات مربوط به این اشیا برابر با A می باشد که A عبارت است از:

بیان اصل ضرب در رابطه با شیوه های مختلف انجام یک کار

مثال ۲ از اصل ضرب:

خانواده ای برای آخر هفته خود یک برنامه تفریحی را در نظر گرفته اند. این برنامه شامل دو قسمت می باشد. در قسمت اول این خانواده می خواهند به تماشای یک فیلم در یکی از سینماهای شهر بروند و در قسمت دوم قرار است شب در یکی از رستوران های خوب، شام را صرف نمایند. برای انتخاب فیلم در یکی از سینماها ۹ انتخاب و برای انتخاب رستوران ۱۲ گزینه وجود دارد. به چند حالت این خانواده می توانند برنامه تفریحی آخر هفته خود را اجرا نمایند.

پاسخ مثال ۲ از اصل ضرب:

در ابتدا و قبل از هر کاری باید مراحل مختلف از کار را مشخص کنیم. باید ابتدا فکر کنیم در این مساله چه مراحلی وجود دارند که منجر به تمایز بین حالات مختلف اجرای کار می شوند. در این مثال کار همان برنامه تفریحی می باشد. با دقت در صورت سوال مشخص می شود که در این سوال دو مرحله اصلی تماشای فیلم و صرف شام به عنوان ویژگی های متمایزکننده برنامه های تفریحی در نظر گرفته شده اند. یعنی وقتی که یک برنامه تفریحی مشخص می شود، باید بتواند به این دو سوال پاسخ روشن و مشخصی دهد:

• کدام فیلم برای تماشا انتخاب می شود؟
• شام در کدام رستوران صرف می شود؟

پس در گام اول هر خانواده ۹ انتخاب برای فیلم دارد و به ازای هریک از فیلم هایی که این خانواده انتخاب نمایند و پس از آن ۱۲ گزینه برای تعیین رستوران دارد. پس مشخص می شود که در نهایت پس از دیدن فیلم اول ۱۲ انتخاب برای صرف شام در رستوران، پس از دیدن فیلم دوم ۱۲ انتخاب برای صرف شام در رستوران،….، پس از دیدن فیلم نهم نیز ۱۲ انتخاب برای صرف شام در رستوران داریم. پس در نهایت تعداد کل حالات برابر با جمع یک سری ۹ تایی از اعداد ۱۲ به صورت زیر می شود:

۱۲+۱۲+۱۲+۱۲+۱۲+۱۲+۱۲+۱۲+۱۲=۱۰۸

در واقع تعداد کل حالات برابر با ضرب دو عدد ۹ و ۱۲ در یکدیگر شده که همان عدد ۱۰۸ را به ما می دهد.

پس در این حالت اصل ضرب را برای کارها و فعالیت های دارای دو مرحله به صورت زیر می توانیم بیان نماییم:

اگر مرحله اول یک کاری را بتوان به a شیوه (روش) انجام داد و پس از انجام آن بتوان مرحله دوم کار را به b شیوه (روش) انجام داد، در مجموع ab حالت (ضرب دو عدد a و b) برای انجام این کار دو مرحله ای وجود دارد.

بیان فوق مربوط به حالت ساده دوتایی برای اصل ضرب می شود که برای حل مثال ارائه شده کفایت می کند. اما اصل ضرب در حالت کلی به صورت زیر قابل ارائه است.

اگر یک کار (فعالیت) دارای n مرحله باشد که هر مرحله را بتوان به تعداد شیوه ها (روش های) زیر انجام داد:

در مجموع تعداد شیوه ها (روش های) انجام کار برابر با A می باشد که A عبارت است از: