احتمال شرطی

مترجم: سید مهدی باغی

ویرایش: ابوالفضل ملکی

احتمال شرطی

احتمال رخداد پیشامدهای مختلف، به اطلاعاتی در مورد وضعیت آزمایش که از قبل مشخص است، بستگی دارد. پس از انتساب‌ اولیه مقادیر احتمال، ممکن است اطلاعات جزئی مربوط به نتیجه آزمایش در دسترس قرار بگیرد. چنین اطلاعاتی ممکن است باعث شود که ما در بعضی از انتساب‌های مرتبط با مقادیر احتمال خود تجدید نظر کنیم. برای پیشامد مشخص A، ما (P(A را به عنوان نشان‌دهنده احتمال رخداد مربوط به A استفاده می‌کنیم؛ در این حالت، ما (P(A را به عنوان احتمال اصلی و غیرشرطی پیشامد A در نظر می‌گیریم.

در این بخش، ما این موضوع را بررسی می‌کنیم که چگونه فرض “پیشامد B رخ داده است” احتمال منتسب به A را تحت تاثیر قرار می‌دهد. به طور مثال، A ممکن است به یک فرد مبتلا به بیماری مشخصی در صورت وجود علائم خاص اشاره کند. اگر آزمایش خون روی این فرد انجام شود و پاسخ منفی باشد (B=آزمایش خون منفی)، احتمال داشتن بیماری تغییر می‌کند (باید کاهش یابد اما معمولا نه تا صفر، چراکه آزمایش‌های خون بدون خطا نیستند).  ما از نماد (P(A|B برای نشان دادن احتمال شرطی A در صورتی که پیشامد B رخ داده باشد استفاده خواهیم کرد. B پیشامد “مشروط‌کننده” است.

به عنوان مثال، پیشامد A را به صورت یک دانشجو در دانشگاه شما که به طور تصادفی انتخاب شده و طی دوره ثبت نام ترم قبل تمام کلاس‌های دلخواهش را به دست آورده، در نظر بگیرید. احتمالا (P(A خیلی بزرگ نیست. با این وجود، فرض کنید که دانشجوی انتخاب شده یک ورزشکار باشد که از اولویت ثبت‌نامی خاصی برخوردار است (پیشامد B). پس   باید از (P(A بزرگتر باشد با وجود اینکه ممکن است هنوز به ۱ نزدیک نباشد.

یک مثال ساده

قطعات پیچیده در یک کارخانه که از دو خط مختلف مونتاژ A و ’A استفاده می‌کند، مونتاژ می‌شوند. خط A از تجهیزات قدیمی‌تری نسبت به ’A استفاده می‌کند، پس تا حدودی آهسته‌تر و کمتر قابل اطمینان است. فرض کنید که در یک روز خط A، هشت  را مونتاژ کرده که از بین آنها ۲ نمونه معیوب باشند (B) و ۶ تا سالم هستند (B’)؛ درحالیکه ’A یک قطعه معیوب و ۹ قطعه سالم تولید کرده است. این اطلاعات در جدول زیر خلاصه شده‌اند.

بدون آگاهی از این اطلاعات، مدیر فروش به صورت تصادفی یکی از ۱۸ قطعه را انتخاب می‌کند. در این حالت داریم:

با این وجود، اگر قطعه انتخاب شده معیوب باشد، پس پیشامد B رخ داده است و بنابراین قطعه می‌بایست یکی از سه قطعه ستون B در جدول باشد. از آنجایی که بعد از اینکه پیشامد B رخ داد، احتمال رخداد این سه قطعه در میان خودشان یکسان می‌باشد:

در فرمول فوق، احتمال شرطی به صورت نسبتی از احتمالات غیرشرطی بیان شدن است: صورت کسر احتمال وقوع اشتراک دو پیشامد است؛ در حالی‌که مخرج کسر احتمال پیشامد مشروط‌کننده B است. یک نمودار ون این ارتباط را روشن‌ترمی‌کند:

با فرض اینکه B رخ داده است، فضای نمونه مربوطه دیگر S نیست و شامل نتایج و خروجی‌هایی در B می‌شود؛ A رخ داده است اگر و تنها اگر یکی از نتایج مربوط به  اشتراک دو پیشامد رخ داده باشد. بنابراین احتمال شرطی A با B  متناسب است با (P(A∩B. مقدار ثابت این تناسب یعنی مخرج کسر جهت اطمینان از اینکه احتمال (P(B|B فضای نمونه جدید B برابر است با ۱، استفاده می‌شود.

تعریف احتمال شرطی

مثالی که بیان شد نشان می‌دهد زمانی که نتایج یک آزمایش به طور یکسانی محتمل هستند، محاسبه احتمالات شرطی می‌تواند بر اساس درک شهودی باشد. اما زمانی که آزمایش‌ها پیچیده‌تر باشند، این درک شهودی ممکن است به نتیجه نرسد. بنابراین یک تعریف عمومی از احتمال شرطی که در مورد مسایل ساده پاسخ‌های شهودی را به همراه دارد، مورد نیاز است. پیش‌تر از این، نمودار ون و یک فرمول برای رسیدن به این تعریف استفاده شدند.

تعریف: برای هر دو پیشامد A و B با P(B)>0، احتمال شرطی A با فرض اینکه B رخ داده است به صورت زیر تعریف می‌شود:

مثال‌ها

مثال۱: فرض کنید که از تمام افرادی که یک دوربین دیجیتال خاص را خریداری می‌کنند، ۶۰% شامل یک کارت حافظه اختیاری، ۴۰% شامل یک باتری اضافه و ۳۰% شامل هر دو (باتری و کارت حافظه) هستند. یک خریدار انتخاب‌شده تصادفی را با مجموعه‌های  A={کارت حافظه خریداری شده است} و B={باتری خریداری شده است} در نظر بگیرید. پس P(A)=0.6، P(B)=0.4 و P(A∩B)=0.3. با فرض اینکه شخص انتخاب‌شده یک باتری اضافه خریداری کرده، احتمال اینکه یک کارت حافظه اختیاری نیز خریداری شده باشد برابر است با:

به این معنی که از تمام افرادی که یک باتری اضافه خریداری می‌کنند، ۷۵%شان یک کارت حافظه اختیاری نیز خریداری کرده‌اند. به طور مشابه:

توجه داشته باشید که  (P(A|B)≠P(A) و (P(B|A)≠P(B؛ گاها پیشامدی‌ که به دنبال به‌دست آوردن مقدار احتمال آن هستیم، ممکن است اجتماع و یا اشتراک سایر پیشامدها باشد؛ همین موضوع می‌تواند برای پیشامد مشروط‌کننده نیز درست باشد.

مثال ۲: یک مجله خبری سه دسته مطلب با عنوان “هنر” (A)، “کتاب‌ها” (B) و “سینما” (C) منتشر می‌کند. عادات مطالعه یک خواننده تصادفی با توجه به این مطالب به این صورت است:

شکل زیر احتمال‌های مرتبط را تشریح می‌کند:

برای مثال احتمال‌های زیر قابل محاسبه هستند:

(۲) احتمال اینکه فرد انتخاب شده به طور منظم مطالب مربوط به  هنر را مطالعه کند با فرض اینکه این شخص به طور منظم حداقل یکی از دو مطلب دیگر را مطالعه می‌کند برابر است با:

(۴) احتمال اینکه شخص انتخاب شده حداقل یکی از دو مطلب اول را مطالعه ‌کند با فرض اینکه این شخص مطالب سینمایی را دنبال می‌کند برابر است با: