اثبات واریانس توزیع دو جمله ای

برای اثبات واریانس و بدست آوردن فرمول بسته واریانس توزیع دو جمله ای، از تعریف واریانس که به صورت زیر می باشد، استفاده می شود:

در اینجا از یک ترفند طلایی بهره گرفته می شود که در محاسبه و اثبات فرمول های بسته بسیاری از توزیع های احتمالی کاربرد دارد.

بر این اساس خواهیم داشت:

در عبارت فوق در صورتیکه x برابر با صفر و یا یک باشد عبارات مربوطه برابر با صفر شده در نتیجه تاثیری در محاسبات نداشته و محاسبات مربوط به اثبات امید ریاضی توزیع دو جمله ای با جملات بعدی ادامه می یابد.

در اینجا از عصای جادویی که در بسیاری از روش های اثبات امید ریاضی و واریانس توزیع های متغیرهای تصادفی به کار برده می شود (یعنی تغییر متغیر) استفاده می شود. براین اساس تغییر متغیرهای زیر اعمال می شود:

بر اساس تغییر متغیرهای فوق، متغیرهای x و n در عبارت مربوط به محاسبه امید ریاضی متغیر تصادفی توزیع دو جمله ای با عبارات زیر جایگزین می گردد:

همچنین حدود سیگما نیز با عبارات زیر جایگزین می گردد:

در نتیجه خواهیم داشت:

طبق تئوری دو جمله ای، مشخص می شود که عبارت جلوی سیگمای فوق، بسط دو جمله ای معادل عبارت زیر می باشد:

در عبارت فوق به جای a و b موارد زیر جایگذاری می شود:

در نتیجه مشخص می شود که:

در نتیجه خواهیم داشت:

بر این اساس به محاسبه واریانس به صورت زیر پرداخته می شود:

بر اساس مقاله «اثبات امید ریاضی توزیع دو جمله ای» می دانیم که:

پس جمع بندی اینکه:

پس واریانس متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای p و n به صورت زیر می باشد: