مقالات آمار و احتمال
اثبات واریانس توزیع دو جمله ای
آبان
برای اثبات واریانس و بدست آوردن فرمول بسته واریانس توزیع دو جمله ای، از تعریف واریانس که به صورت زیر می باشد، استفاده می شود:
در اینجا از یک ترفند طلایی بهره گرفته می شود که در محاسبه و اثبات فرمول های بسته بسیاری از توزیع های احتمالی کاربرد دارد.
بر این اساس خواهیم داشت:
در عبارت فوق در صورتیکه x برابر با صفر و یا یک باشد عبارات مربوطه برابر با صفر شده در نتیجه تاثیری در محاسبات نداشته و محاسبات مربوط به اثبات امید ریاضی توزیع دو جمله ای با جملات بعدی ادامه می یابد.
در اینجا از عصای جادویی که در بسیاری از روش های اثبات امید ریاضی و واریانس توزیع های متغیرهای تصادفی به کار برده می شود (یعنی تغییر متغیر) استفاده می شود. براین اساس تغییر متغیرهای زیر اعمال می شود:
بر اساس تغییر متغیرهای فوق، متغیرهای x و n در عبارت مربوط به محاسبه امید ریاضی متغیر تصادفی توزیع دو جمله ای با عبارات زیر جایگزین می گردد:
همچنین حدود سیگما نیز با عبارات زیر جایگزین می گردد:
در نتیجه خواهیم داشت:
طبق تئوری دو جمله ای، مشخص می شود که عبارت جلوی سیگمای فوق، بسط دو جمله ای معادل عبارت زیر می باشد:
در عبارت فوق به جای a و b موارد زیر جایگذاری می شود:
در نتیجه مشخص می شود که:
در نتیجه خواهیم داشت:
بر این اساس به محاسبه واریانس به صورت زیر پرداخته می شود:
بر اساس مقاله «اثبات امید ریاضی توزیع دو جمله ای» می دانیم که:
پس جمع بندی اینکه:
پس واریانس متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای p و n به صورت زیر می باشد:
دمتون گرم.
بسیار عالی 💎 و ممنونم 🙏
مرسی