آموزش آمار و احتمالات به زبان ساده

A (1)

درس آمار و احتمال در مقاطع درسی و کنکور های مختلف از کنکور ورود به دوره کارشناسی تا کنکور ارشد و دکترا مورد توجه می باشد. به صورت کلی اهداف دانش‌آموزان و دانشجویان از مطالعه آمار و احتمال را می توان به دو گروه تقسیم نمود. گروه اول در زمانی است که دانشجویان یا دانش آموزان این درس را جز واحد های درسی خود اخذ نموده و طبیعتاً به دنبال یادگیری مفاهیم، موضوعات، حل تمرین های مربوطه و موفقیت در آزمون پایانی مربوط به آن درس می باشند. حالت دوم زمانی است که دانش آموزان یا دانشجویان در یک کنکور ورودی به دوره کارشناسی یا کارشناسی ارشد یا دکترا شرکت نموده و تلاش می نمایند تا بتوانند تست های مربوط به آمار و احتمال را به درستی و در زمان کم حل نمایند. در ادامه به بررسی این دو حالت در مقاطع مختلف پرداخته می شود.

آمار و احتمال برای کنکور کارشناسی ارشد مهندسی برق مهندسی کامپیوتر 

مباحث اصلی آمار و احتمال ارشد برق و کامپیوتر شامل موارد زیر می باشند:

۱- مبحث آمار توصیفی

  • جداول و نمودارهای آماری
  • شاخصهای اصلی تمرکز در آمار توصیفی شامل میانگین میانه و مد یا نما
  • شاخص های پراکندگی مطرح در آمار توصیفی 
  • سایر شاخص های آماری شامل ضریب کشیدگی  و ضریب چولگی

۲- مبحث آنالیز ترکیبی و تئوری احتمال

  • اصول شمارش 
  • جایگشت ها
  • ترتیب و ترکیب 
  • فضای نمونه گسسته متناهی 
  • فضای نمونه نامتناهی شمارش پذیر 
  • فضای نمونه پیوسته 
  • قانون ضرب احتمال و احتمال شرطی 
  • استقلال پیشامدها
  • قضیه بیز
  •  قانون احتمال کل 

۳- مبحث متغیرهای تصادفی

  • متغیرهای تصادفی گسسته و  پیوسته
  • تابع توزیع تجمعی (CDF)
  • توضیح احتمالات دو متغیره و توابع توزیع کناری 
  • توزیع شرطی متغیرهای تصادفی 
  • استقلال متغیرهای تصادفی 
  • امید ریاضی متغیر تصادفی
  • امید ریاضی توابع متغیرهای تصادفی ( گسسته و پیوسته)
  • واریانس
  •  کوواریانس
  •  ضریب همبستگی خطی 
  • امید ریاضی شرطی
  •  واریانس شرطی
  • توابع مولد گشتاور

۴- مبحث توزیع های آماری 

  • توزیع های آماری گسسته با خواص و ویژگی های آنها شامل:
    • توزیع یکنواخت
    • توزیع برنولی
    •  توزیع دو جمله ای
    •  توزیع هندسی
    •  توزیع دو جمله ای منفی 
    •  توزیع فوق هندسی
  • توزیع های آماری پیوسته با خواص و ویژگی های آنها شامل:
    • توزیع یکنواخت 
    • توزیع نمایی
    • توزیع  مربع کای
    • توزیع بتا
    • توزیع گاما
    • توزیع نرمال و نرمال استاندارد
    • توزیع نرمال دو متغیره 
    • توزیع تی استیودنت (t) 
    • توزیع فیشر (F)
  • به دست آوردن توزیع توابع متغیرهای تصادفی
  •  عملیات نمونه گیری 
  • توزیع های نمونه ای شامل:
    • توزیع میانگین نمونه 
    • توزیع تفاضل میانگین های دو جامعه 
    • توزیع  واریانس نمونه
    • توزیع نسبت واریانس های نمونه دو جامعه 
    • توزیع نسبت نمونه ای

۵- مبحث برآورد

  • مفهوم نااریبی برآوردگر
  • میانگین مربعات خطا (MSE)
  • مفهوم کارایی در برآوردگر ها 
  • فاصله اطمینان یا همان برآوردهای بازه ای (فاصله ای) شامل:
    • فاصله اطمینان تفاوت میانگین دو جامعه
    • فاصله اطمینان واریانس یک جامعه
    • فاصله اطمینان نسبت واریانس دو جامعه 
    • فاصله اطمینان نسبت در یک جامعه 
    • فاصله اطمینان تفاوت نسبت در دو جامعه 

آمار و احتمال برای کنکور کارشناسی ارشد مهندسی صنایع

مباحث اصلی آمار و احتمال ارشد صنایع شامل موارد زیر می باشند:

آنالیز ترکیبی

ترتیب ها و ترکیب ها

تابع احتمال و خواص اصلی آن

احتمال یکنواخت

احتمال شرطی

قانون بیز

استقلال بین پیشامدها

تابع (جرم) احتمال و تابع چگالی احتمال

تابع توزیع تجمعی

امید ریاضی (میانگین)

واریانس

متغیر تصادفی توام گسسته

متغیر تصادفی توام پیوسته

تابع چگالی احتمال شرطی

امید ریاضی شرطی

کواریانس

شاخص ضریب همبستگی

تابع مولد گشتاور

نامساوی مارکوف

نامساوی چبیشف

توزیع های گسسته:

  • توزیع یکتواخت از نوع گسسته
  • توزیع برنولی
  • توزیع دو جمله ای
  • توزیع چند جمله ای
  • توریع پواسن
  • توزیع هندسی
  • توزیع دوجمله ای منفی
  • توزیع فوق هندسی

توزیع های پیوسته:

  • توزیع یکتواخت از نوع پیوسته
  • توریع نرمال
  • توریع نرمال استاندارد
  • توزیع گاما
  • توزیع مربع کای
  • توزیع نمایی
  • توزیع کوشی
  • توزیع بتا

برقراری ارتباط بین توزیع های مختلف

قضیه حد مرکزی

امید ریاضی میانگین

واریانس میانگین

توزیع کای دو (کای اسکور،‌ مربع کای)

توزیع t

توزیع F (فیشر)

خصوصیات برآوردگرهای نقطه ای:

  • نا اریبی
  • MSE (میانگین مربع خطا)
  • سازگاری

روش برآورد نقطه ای:

  • روش گشتاورها
  • روش ماکزیمم درستنمایی (MLE)

برآورد فاصله ای برای یک و دو جامعه:

  • برآورد فاصله ای برای میانگین
  • برآورد فاصله ای برای انحراف معیار
  • برآورد فاصله ای برای نسبت

انواع خطا در آزمون فرض:

  • خطای نوع اول یا همان آلفا
  • خطای نوع دوم یا همان بتا
  • قدرت یا توان آزمون

لم نیمن پیرسون

نسبت درست نمایی

آزمون فرض برای یک و دو جامعه:

  • آزمون فرض برای میانگین
  • آزمون فرض برای انحراف معیار
  • آزمون فرض برای نسبت

آزمون انطباق

آزمون استقلال

مفهوم P-value و روش آن

آزمون نیکویی برازش

رگرسیون خطی

ضریب همبستگی

آنالیز واریانس (ANOVA)

آمار توصیفی

 

این قسمت به مرور تکمیل می شود.

اصول آموزش آمار و احتمال 

سوالی که همواره ذهن بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان را به خود مشغول کرده است. چطور می توان به زبان ساده مفاهیم آمار و احتمال را فراگرفت و بر مباحث آن تسلط کافی پیدا کرد؟ حتی برای اساتید و دبیران محترم هم همیشه این سوال از جنبه روش آموزش و تدریس مطرح است. چطور می توان به صورت روان و کاربردی مفاهیم و مباحث به ظاهر پیچیده آمار و احتمال را برای دانشجویان و دانش آموزان تشریح نمود؟ در اینجا سعی داریم از زوایای مختلف به این موضوع بپردازیم. آمار و احتمالات را می توان با رویکرد و نگرشی نو به صورت ساده و کاربردی فراگرفت. به این منظور رعایت پاره ای از اصول ضروری است:

اصل دومینو

مسلما اکثر ما کلمه دومینو رو شنیدیم و نسبت به آن ذهنیت داریم. دومینو مجموعه ای از قطعات مستطیل یا مربعی است که پشت سر هم بر اساس یک ساختار و نظم مشخص قرار داده می شوند. معمولا این ساختار به گونه ای تنظیم می شود که تنها پس از حرکت دادن و انداختن یکی از دومینوها بقیه آنها نیز به صورت زنجیری انداخته می شوند و نمای ظاهری جذاب و چشم نوازی ایجاد می شود.

1

بله این مهم ترین نکته و اصل در آموزش آمار و احتمال به زبان ساده چه برای دانش آموزان (خصوصا دانش آموزان پایه یازدهم رشته ریاضی فیزیک) و چه برای دانشجویان رشته های مختلف مهندسی است. منظور از اصل دومینو در آمار و احتمال این است که با یادگیری هر مفهوم و موضوع بایستی یادگیری مفهوم و موضوع بعدی به سرعت و  سهولت برای ما امکان پذیر گردد. دو واژه سرعت و سهولت در اینجا بسیار کلیدی می باشند:

  • سرعت بدین معناست که پس از یادگیری هر موضوع و مفهومی، بایستی قادر به یادگیری موضوع و مفهوم مرتبط بعدی در کوتاه ترین زمان ممکن باشیم. 
  • سهولت هم بدین معناست که پس از فهم و هضم کامل یک موضوع (دومینوی اول)، مفهوم بعدی (یعنی دومینوی بعدی) بایستی با کمترین تلاش فکری، بدون دشواری و سختی و گیج شدن، و در واقع در راحت ترین و ساده ترین شکل ممکن در ذهن ما بنشیند. (می توان به زبان ساده و خلاصه گفت: به صورت هلو برو توی گلو)

اصل چرا؟

برای یادگیری مفاهیم آمار و احتمال همواره باید چرا پرسیدن را در دستور کار قرار بدیم و در برابر هر فرمول یا قضیه بپرسیم که چرا این موضوع به این صورت بیان شده است؟ و ریشه این موضوع چیست؟ این چرا گفتن ها می تواند به صورت چند چرای متوالی و پشت سر هم بیان شود تا به ریشه اصلی موضوع برسیم و بتوانیم به کنه مطلب پی ببریم.

پیش مطالعه فراموش نشود.

قبل از شروع و یادگیری هر مبحثی و شرکت در کلاس بهتر است که یک پیش مطالعه روی مباحث داشته باشیم حتی اگر در حد پنج دقیقه یا حتی دو دقیقه باشد. پیش مطالعه موجب می شود که ذهن ما آمادگی اولیه را کسب نموده و مطالب ارائه شده در کلاس به صورت بهتر در ذهن ما طبقه بندی شده و جای گیرند. در پیش مطالعه مربوط به آموزش آمار و احتمال، نکات اصلی و مهم را به صورت ویژه مد نظر داشته باشید. در بسیاری از کتاب های آمار و احتمال این نکات اصلی و جمع بندی مباحث در باکس های مشخصی در صفحات کتاب یا جزوه قرار داده شده اند و این امر به دانشجویان و دانش آموزانی که می خواهند پیش مطالعه داشته باشند، کمک شایانی می نماید. پس در پیش مطالعه اول باکس های جمع بندی که حاوی مهم ترین و کلیدی ترین نکات و نتایج بحث ارائه شده می باشند، را مد نظر داشته باشید.

یادگیری تدریجی

مباحث آمار و احتمال را به صورت تدریجی باید فراگرفت. مسلما تمامی مباحث با یکبار مطالعه یاد گرفته نمی شود. و یا با شرکت در جلسه کلاس تمامی مباحث به صورت کامل و دقیق در همان جلسه فراگرفته نمی شود. این موضوع تقریبا در رابطه با کلیه دروس و مباحث علمی صادق است، اما در آمار و احتمال اهمیت ویژه تری دارد، چرا که یادگیری دقیق و کامل آمار و احتمال تنها با عمیق شدن و پی بردن به عمق مباحث مطرح شده امکان پذیر است که این امر مستلزم گذشت زمان و درگیر شدن ذهن به صورت مستمر با مباحث و سوالات آمار و احتمال است تا به تدریج بر عمق دانش و فهم دانشجو/ دانش آموز نسبت به مفاهیم، روش ها، قضایا و فرمول های آماری، افزوده شود. 

حل چند باره

 خیلی از اوقات ممکن است شما حل یک مسئله را از روی کتاب یا جزوه خود بخوانید و یا سر کلاس حل یک مسئله آمار و احتمال را ببینید. در این مواقع خیلی از دانشجویان و دانش آموزان گمان می کنند که کاملاً بر حل مسئله مسلط بوده و نیازی به تمرین بر روی آن ندارند. اما بسیار پیش آمده است که وقتی در جلسه امتحان با مسئله مشابه برخورد می کنند، با چالش مواجه می شوند.  بنابراین و برای افزایش موفقیت شما در جلسات امتحان و همچنین کنکور، پیشنهاد می شود که حتماً حتی اگر ۱۰۰% هم  مطمئن هستید که یک مسئله را بلدید، حداقل یک بار مجدد آن را بدون کمک گرفتن از کتاب و جزوه و سایر منابع درسی حل نمایید. در این صورت اگر  اشکال یا نکته‌ای وجود داشته بوده که از دید شما مخفی مانده است، آشکار شده و می می‌توانید به رفع آن بپردازید. این کار درست به مانند استفاده از دیاگ برای شناسایی و آشکارسازی عیوب یک خودرو می باشد.

رای دادن به این post

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.